Определение среднего значения любой физической

 величины

 

    В квантовых системах, в которых физическая величина Q не имеет определённого значения, имеет смысл находить среднее значение, т.е. математическое ожидание результатов измерений в серии из большого числа измерений

 .

    Для того, чтобы рассчитать вероятности Р_п следует разложить волновую функцию Ψ в ряд по полной системе собственных функций Ψ _п оператора :

    Такое разложение всегда возможно и коэффициенты этого разложения вычисляются по формуле

    Искомая вероятность Р_п равна квадрату модуля   из представленного выше разложения

    С учётом того, что    получаем окончательную формулу

 ,

которую часто  рассматривают как четвёртый постулат квантовой механики.

        

    Для одномерного случая:  .

     

    Отметим, что если Ψ =Ψ _п, то получаем естественный результат  

 

 

    Квантовая механика позволяет дать численную оценку потенциальных возможностей того или иного поведения квантового объекта. И хотя вероятность того или иного результата измерения в квантовой механике относится к отдельному объекту, для экспериментального определения численного значения этой вероятности необходимо многократное повторение измерений в квантовом ансамбле одинаковых систем.

    Задача 1 (5.152)

    В некоторый момент частица находится в состоянии, описываемом

 Ψ -функцией, координатная часть которой  , где А и а -  неизвестные постоянные.

    Найти средние значения координаты х и проекции импульса р_х.

 

    Решение:

    а) в соответствии с 4-ым постулатом квантовой механики (учитывая, что )

 

 

    Поскольку подинтегральная функция нечётная, то интеграл равен нулю

Следовательно

< x > = 0

 

    б)    , где  .

 

    Тогда в соответствии с 4-ым постулатом квантовой механики

 

 

 

(во втором интеграле подинтегральная функция нечётная).

 

    Из условия нормировки Ψ -функции следует, что

 

 

    В результате окончательно получаем

 

.

 

    Задача 2

    В момент времени t = 0  волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид

 

 

Считая, что масса частицы равна т₀, найдите среднюю кинетическую энергию частицы в данном состоянии. Укажите, суперпозицией каких состояний частицы в потенциальной яме является данное состояние. Найдите волновую функцию

 

    Решение:

    Воспользуемся формулой Эйлера:

 

 

    Постоянный множитель А находим из условия нормировки:

 

    Для частицы массы т₀ в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими непроницаемыми стенками

и .

Таким образом, функция   принимает следующий окончательный вид:

 

 

В силу ортонормированности волновых функций  вероятность обнаружения частицы в состоянии с волновой функцией  равна квадрату коэффициента при . В данном случае С₂ = С₅ =   и Р₂ = Р₅ = .

    Тогда

    Волновая функция  определяется из условия, что для стационарного состояния

Т.е.

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: