И непонятно жива или мертва кошка?

    Системы, в которых формально объединены как классические так и квантовые объекты не всегда корректны для исследования.

 

 

Лекция 7

Операторы физических величин

    Ранее было сказано, что состояние квантовой частицы определяется не координатами и импульсом, а заданием Ψ -функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля ( 1-ый постулат квантовой механики ). Волновая функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия, момент импульса и др.

    Ψ -функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все её динамические характеристики .

    Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты их действия на волновую функцию.

    Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на х,  или на какую-либо функцию    f ( x ),  дифференцирование  по    х   т.е.  ;  , операторы набла -  , лапласиан -   и т.д.

    В квантовой механике операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например, , а его действие на некоторую функцию f( x ) записывают как    .

    Некоторые свойства операторов:

    1). Операторы можно складывать:   . Действие такого суммарного оператора на любую функцию f( x)  даёт результат

    2). Под произведением операторов    понимают оператор, результат действия которого на любую функцию f ( x )  равен

.

Т.е. функция f ( x )   сначала подвергается действию оператора , а затем полученный результат – действию оператора  .

    Следует иметь ввиду, что не всегда  . Если такое равенство соблюдается, то это значит, что операторы    и   коммутируют друг с другом (коммутирующие операторы ).

    Пример некоммутирующих операторов – это х   и :

 ,       а         .

 

    3). Оператор     называют линейным, если для любых двух функций f ₁ и f ₂   и любых постоянных а₁ и а₂ выполняется соотношение

.

    С линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.

    Оператором физической величины может быть только линейный самосопряжённый (эрмитов) оператор. Самосопряжённым называют оператор, который совпадает со своим сопряжённым оператором. В этом случае для произвольных функций  и  тождественно выполняется следующее интегральное равенство

 

    4). Если    то .

 

Представление физических величин операторами

В квантовой механике

    Второй постулат квантовой механики  –  каждой физической величине соответствует определённый линейный эрмитов оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.

 

1. Оператор координаты

 ;  ;  .

.

2. Оператор импульса

 ;  ; ;

.

    3. Оператор квадрата импульса

4. Оператор момента импульса

 =

    

 

В сферической системе координат

,

,

.

5. Оператор квадрата момента импульса

  В c ферической системе координат ( r, θ, φ )

 

 , где

- угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат.

                                                              

6. Операторы энергий

Кинетическая энергия в классической механике

В соответствии со вторым постулатом получаем

.

Для потенциальной энергии  в  стационарном силовом  поле

получаем: . Это определение  справедливо не только для гармонического осциллятора но о в общем случае для частицы, движущейся в стационарном силовом поле, где её потенциальная энергия  определена в любой точке пространства.

Оператор полной энергии

 

Этот    оператор  называют   оператором   функции   Гамильтона   или

гамильтонианом, который является основным оператором квантовой механики, определяющим все особенности квантовой системы.

    Уравнение Шрёдингера в операторной форме  принимает вид:

Временное –

Для стационарных состояний –

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: