Оптимизация по методу крутого восхождения.

Пусть, например, целевая функция задана в виде уравнения регрессии первого порядка (3),полученного по результатам полного или дробного факторного эксперимента. Уравнение регрессии адекватно описывает функцию отклика в области от -1 до +1.

Для нахождения экстремума уравнения (3) следует осуществлять движение по градиенту, т. к. оно обеспечивает наиболее короткий путь к экстремуму, т. е. направление градиента - это направление самого крутого склона, ведущего от данной точки к экстремуму функции.

Движение по градиенту осуществляют с некоторым шагом (приращением значения фактора), причем его минимальная величина должна быть больше ошибки, с которой фиксируют фактор. Максимальную величину шага ограничивает область определения фактора. Необходимо учитывать, что при движении к оптимуму малый шаг потребует значительного числа опытов, а большой может привести к проскоку области .

При выборе шага движения один из факторов принимают за базовый и для него выбирают шаг движения. Для всех остальных факторов шаг движения рассчитывают по формуле:

где - шаг движения для i - ого фактора; - шаг движения для базового фактора l; и – коэффициенты регрессионного уравнения вида (3) – интервал варьирования.

Движение к оптимуму начинают из центра плана, который использовался для получения математического описания функции отклика. Значения факторов на каждом новом шаге

находят путем прибавления к соответствующим предыдущим значениям:

На каждом шаге рассчитывают мысленные опыты (не производя непосредственного измерения функции отклика), соответствующие наиболее крутому направлению для движения в область оптимума. Поскольку реализация всех мысленных опытов часто связана со значительными экономическими или ресурсными затратами, то реализуют не все такие опыты. Реализация части мысленных опытов дает возможность сделать несколько шагов в направлении оптимума. Так осуществляется оптимизация по методу крутого восхождения.

Если же ищется минимум функции у, то новые значения факторов находят из предыдущих путем вычитани

Такой способ оптимизации называют методом наискорейшего спуска.

Движение к оптимуму прекращают в следующих случаях:

1. Значения (одного или нескольких) факторов или функций отклика вышли на границы допустимых значений.

2. Достигнут экстремум критерия оптимальности у.

В первом случае на этом оптимизация заканчивается, а во втором – в области у ищут ее новое математическое описание, используя ПФЭ. Если удается получить адекватное описание этой функции в виде (3), то продолжают оптимизацию методом крутого восхождения (рис. 4). Очевидно, оптимум, найденный в результате первого крутого восхождения, был локальным.

 

 

15Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента . После построения уравнения регрессии необходимо сделать проверку его значимости: с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выраженная уравнением регрессии, случайной, т.е. можно ли ее использовать в прогнозных целях и для факторного анализа. В статистике разработаны методики строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специальных критериев (например, F-критерия). Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения (ё), называемого средней ошибкой аппроксимации: Перейдем теперь к оценке значимости коэффициентов регрессии bj и построению доверительного интервала для параметров регрессионной модели Ру (J=l,2,..., р). Блок 5 - оценка значимости коэффициентов регрессий по величине ^-критерия Стьюдента. Расчетные значения ta сравниваются с допустимым значением/ Блок 5 - оценка значимости коэффициентов регрессий по величине ^-критерия. Расчетные значения t0n сравниваются с допустимым значением 4,/, которое определяется по таблицам t - распределения для заданной вероятности ошибок (а) и числа степеней свободы (/). Кроме проверки значимости всей модели, необходимо провести проверки значимости коэффициентов регрессии по /-критерию Стюдента. Минимальное значение коэффициента регрессии Ьг должно соответствовать условию bifob- ^t, где bi - значение коэффициента уравнения регрессии в натуральном масштабе при i-ц факторном признаке; аь. - средняя квадратическая ошибка каждого коэффициента. несопоставимость между собой по своей значимости коэффициентов D; Дальнейший статистический анализ касается проверки значимости коэффициентов регрессии. Для этого находим значение ^-критерия для коэффициентов регрессии. В результате их сравнения определяется наименьший по величине ^-критерий. Фактор, коэффициенту которого соответствует наименьший ^-критерий, исключается из дальнейшего анализа. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стъюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Но о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки: Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью /-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения.

 

 

16. Основные характеристики плана эксперимента: основной уровень, интервал варьирования, верхний, нижний уровни.

Планирование эксперимента начинается с выбора области эксперимента. В первом приближении область определения факторов может быть задана с учетом допусков на входные факторы, указанные в ТЗ. Однако, часто диапазон допусков невелик и требуется большее число экспериментов для достижения приемлемой статистической точности.

Поэтому область определения факторов желательно расширить за пределы допусков, но с учетом ограничений по работоспособности изделия, а так же имея ввиду, что с увеличением интервалов может потребоваться усложнение модели. Область эксперимента задается основными уровнями и интервалами варьирования факторов.

Основной уровень – центральная точка области эксперимента (чаще всего – номинальное значение факторов):

- номинальное значение фактора.

Интервал варьирования - это расстояние на ОХ_i между основным и верхним уровнями факторов.

- верхний предел (уровень) факторов.

Минимальная величина интервала варьирования должна быть больше ошибок воспроизведения факторов эксперимента, иначе верхний и нижний уровни будут неразличимы.

При одинаковых ошибках эксперимента с увеличением интервала варьирования коэффициенты регрессии оцениваются точнее. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных значения факторов приводят к безразмерному виду:

.

Верхний уровень равен +1, а нижний -1, а основной – нулю. После выбора интервалов варьирования факторов строится план эксперимента.

Пусть имеется k-мерное пространство, и n измерений целевого параметра. Каждая точка представляет собой вектор :

,

где j=1,2, …, n – число опытов.

Набор этих точек по всем n опытам называется планом эксперимента.

 

17. Проверка адекватности уравнения регрессии с помощью критерия Фишера. Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, т.е. соответствие фактическим статистическим данным. При анализе адекватности уравнения регрессии (модели) исследуемому процессу, возможны следующие варианты:
1. Построенная модель на основе F-критерия Фишера в целом адекватна и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и осуществления прогнозов.
2. Модель по F-критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов не значима. Модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозов.
3. Модель по F-критерию адекватна, но все коэффициенты регрессии не значимы. Модель полностью считается неадекватной. На ее основе не принимаются решения и не осуществляются прогнозы.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной (y) от среднего значения (y_ср.) раскладывается на две части – «объясненную»и «необъясненную»:

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается стабличным значением F_табл. (α, k₁, k₂) при заданном уровне значимости α и степенях свободы k₁= m и k₂=n-m-1. При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного F_факт > F_теор, то признается статистическая значимость уравнения в целом. Для парной линейной регрессии m=1 , поэтому:

Эта формула в общем виде может выглядеть так:

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: