Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Линейные уравнения с переменными коэффициентами

 

Кроме линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые рассматривались выше, физические задачи часто приводят к уравнениям с переменными коэффициентами.

Последние, вообще говоря, не интегрируется в конечном виде (исключая уравнения Эйлера, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами) – см. Гутер, стр. 190

Решения уравнений с переменными коэффициентами являются уже новыми, вообще говоря, неэлементарными функциями.

Такие специальные функции изучены уже достаточно полно и для их вычисления составлены подробные таблицы.

В большинстве случае такие уравнения получаются при решении задач математической физики.

Уравнение Эйлера - представляет собой линейное уравнение с переменными коэффициентами.

Уравнением Эйлера называют уравнение:

(I)

 (Рассмотрим только второго порядка)

где р₁, р₂ - постоянные числа.

Таким образом, коэффициенты уравнения Эйлера есть степенные функции, причем степень коэффициента равна порядку производной, при которой он стоит (подробно, см. Гутер, стр. 190).

 

Пример:

Решение:

1) Однородное уравнение:

2) Неоднородное уравнение: методом вариации произвольных постоянных

Замечание. В общем случае уравнение Эйлера (любого порядка) решается путем преобразования в уравнение с постоянными коэффициентами подстановкой  

Уравнение Эйлера принимает вид:

- линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Лекция «Система дифференциальных уравнений»

 

Для описания некоторых процессов или явлений нередко требуется несколько функций. Отыскание этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям, образующим систему.

Определение. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность  уравнений, в каждое из которых входят: независимая переменная, искомые функции и их производные.

Замечание. Предполагается, что число уравнений равно числу неизвестных функций. Рассмотрим некоторые простейшие системы дифференциальных уравнений.

 

Линейные уравнения с переменными коэффициентами

 

Кроме линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые рассматривались выше, физические задачи часто приводят к уравнениям с переменными коэффициентами.

Последние, вообще говоря, не интегрируется в конечном виде (исключая уравнения Эйлера, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами) – см. Гутер, стр. 190

Решения уравнений с переменными коэффициентами являются уже новыми, вообще говоря, неэлементарными функциями.

Такие специальные функции изучены уже достаточно полно и для их вычисления составлены подробные таблицы.

В большинстве случае такие уравнения получаются при решении задач математической физики.

Уравнение Эйлера - представляет собой линейное уравнение с переменными коэффициентами.

Уравнением Эйлера называют уравнение:

(I)

 (Рассмотрим только второго порядка)

где р₁, р₂ - постоянные числа.

Таким образом, коэффициенты уравнения Эйлера есть степенные функции, причем степень коэффициента равна порядку производной, при которой он стоит (подробно, см. Гутер, стр. 190).

 

Пример:

Решение:

1) Однородное уравнение:

2) Неоднородное уравнение: методом вариации произвольных постоянных

Замечание. В общем случае уравнение Эйлера (любого порядка) решается путем преобразования в уравнение с постоянными коэффициентами подстановкой  

Уравнение Эйлера принимает вид:

- линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

123Следующая ⇒

Поделиться: