II Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами

Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной, если функции линейны относительно искомых функций. Из этого определения следует, что линейная система имеет вид:

(1)

(где - аргумент, - неизвестные функции), причем все коэффициенты и «свободные члены» являются, вообще говоря, произвольными функциями от (если система не с постоянными коэффициентами).

Линейная система (1) допускает более простую и короткую форму записи, если пользоваться векторно–матричными обозначениями.

Введем в рассмотрение вектор , компонентами которого служат функции , и будем записывать его в виде матрицы – столбца, т.е. матрицы с строками и одни столбцом:

Естественно назвать производной такого вектора новую матрицу – столбец, элементы которой суть производные от элементов первоначального вектора:

Тогда если обозначить через В - вектор компоненты которого – свободные члены системы (1), и через А - матрицу коэффициентов системы:

то систему (1) можно записать в виде равенства векторов:

Последнее равенство и называется векторно–матричной формой записи линейной системы дифференциальных уравнений.

Ограничимся рассмотрением однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. предположим, что в системе (1):

Таким образом, система примет вид:

(2)

Рассмотрим для определенности однородную линейную систему трех дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с тремя неизвестными функциями:

(3)

Частное решение системы будем искать в виде: (4)

где - постоянные, которые следует, если это возможно, подобрать так, чтобы функции (4) удовлетворяли системе (3). Подставим выражения (4) для искомых функций в систему (3):

или, после сокращения на и после перенесения всех членов вправо.

(5)

Систему (5) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными .

Чтобы система (5) имела отличные от нуля решения, необходимо и достаточно равенство нулю определителя этой системы ( по теореме об однородной системе). Это условие дает:

(6)

Уравнение (6) называют характеристическим уравнением системы (3). Оно является уравнением третьей степени, и решение вида (4) существует тогда и только тогда, когда число является корнем характеристического уравнения (6).

Мы рассмотрим решение системы (30 только в случае простых корней характеристического уравнения. Случай кратных корней более сложен, и мы его не рассматриваем.

Рассмотрим несколько случаев решения линейных однородных систем с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.

1. Корни характеристического уравнения действительны и различны.

Для каждого корня запишем систему (5) и определим коэффициенты . Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Путем непосредственной подстановки в уравнения системы можно убедится, что система функций:

где - произвольные постоянные, тоже являются решением системы. Это есть общее решение системы.

Пример. (Берман, 4338)

Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:

А) составим систему (5) для :

Таким образом,

Б) пусть :

Второе решение системы:

В) пусть :

Общее решение системы:

2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные

В случае комплексных корней характеристического уравнения решения, соответствующие паре комплексных корней , можно комбинировать, как и для одного уравнения, применяя формулу Эйлера. (см. Гутер, стр. 244)

В этом случае удобно сразу записать:

и находим функции выражая их через функции (см. Бермант, 560) и из производные, как это было сделано при решении нормальной системы дифференциальных уравнений.

Пример. Найти общее решение системы уравнений

Решение:

Здесь . Следовательно,

Тогда

Из первого уравнения системы .

Общее решение системы:

Замечание. 1) Аналогично можно решать линейную систему дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

2) см. Пискунов, ч.2, стр. 48, Гутер, стр. 244. - Другое решение в случае комплексных корней характеристического уравнения

Пример 2. Другой способ решения в случае комплексных корней.

Решение:

А) :

Б) :

Вместо полученных частных решений можно взять их комбинации:

Общее решение:

Замечание. При решении первым способом сразу получим:

Подставим в первое уравнение системы значение :

Физический пример

Задача (Разложение вещества)

Вещество А разлагается на два вещества и . Скорость образования каждого из них пропорциональна количеству неразложившегося вещества А. Найти законы изменения количеств и веществ и в зависимости от времени , если через час после начала процесса разложения и равны соответственно и , где - первоначальное количество вещества А.