Простейшие сведения о краевых задачах

 

Как было указано ранее, для выделения частного решения уравнения порядка рассматривается, как правило, задача Коши, состоящая в задании начальных условий: в некоторой точке х=х₀ задаются значения 1) искомой функции и 2) всех ее производных до (n-1)-го порядка включительно.

Вместе с тем в ряде задач приходится встречаться с условиями другого типа; например, требуется нахождение частного решения по известным значениям искомой функции в нескольких точках. С некоторыми из таких задач мы имели дело. Их называют граничными или краевыми задачами.

Рассмотрим некоторые такие задачи на частных примерах.

 

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям  .

Решение:

Подставляя сюда значения и приходим к двум уравнениям для нахождения произвольных постоянных с₁ и с₂ :

Следовательно, искомым частным решением является  

Краевые задачи не обязательно задаются в такой элементарной форме.

В некоторых случаях в качестве условий задаются линейные комбинации функции и ее первой производной в двух (для уравнения второго порядка) или нескольких точках.

 

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям:

 

Решение: общее решение уравнения (см. выше)

Найдем частное решение:

 

Пример. Найти общее решение уравнения , удовлетворяющее условиям:

Решение:

Первое краевое условие дает:

Находим второе краевое условие:

Получаем систему:

Таким образом, частное решение, удовлетворяющее заданным краевым условиям, имеет вид:

 

Лекция. Применение линейных дифференциальных уравнений к исследованию простейших колебаний

 

Рассмотрим механические колебания.

Задача. Тело массы   подвешено на вертикальной пружине, которая неподвижно закреплена одним концом. В естественном, т.е. в ненагруженном состоянии длина пружина равна . Тело слегка  оттянуто к низу и затем отпущено. Найти закон движения тела (пренебрегая массой пружины).

 

 

Вес тела . В положении равновесия он уравновешивается упругой силой пружины, которая (по закону Гука) пропорциональна длине отрезка  , на который растянулась пружина под действием веса тела.

Итак, , (1). Это в положении равновесия.

где с - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины (или жесткостью пружины).

Выведем тело из положения равновесия, сообщив ему перемещение в вертикальном направлении, и затем отпустим его. Тело начнет колебаться около положения равновесия, совершать так называемые свободные колебания.

Составим уравнение движения при различных предположениях относительно среды, в которой происходят колебания:

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: