Понятие производной функции

Пусть действительная функция  определена на интервале  и пусть  – любая точка этого интервала. Дадим приращение аргументу  такое, что  и вычислим приращение функции  в точке .

Определение. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента

,                           (1)

то этот предел называется производной функции  в точке . Обозначают производную так:  (Лагранж),  (Лейбниц),  (Ньютон).

Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции. Оператор  называют дифференциальным.

Если в (1) берется левый или правый пределы, то и производная называется левой или правой. Обозначают  и  соответственно. Очевидно, если существует производная (1), то существуют левая и правая производные, причем = . Наоборот, если существуют ,  и = , то существует и производная (1).

Если производная существует во всех точках интервала , то мы имеем производную функцию , заданную на интервале . Если еще вдобавок существует  и , то имеем производную функцию , заданную на отрезке . (В общем случае областью определения функции  является множество точек , в которых она существует).

Пример 1.  Найти производную функции , .

Решение. Дадим приращение  аргументу и найдем приращение функции в произвольной точке .

.

Воспользуемся (1).

.

(воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции ).

Итак,

  для любого .

Упражнение. Доказать, что

Пример 2. Найти производную функции  

в точке .

Решение. Найдем левую и правую производные в точке .

Итак, , следовательно, функция не имеет производной в точке .

Очевидно,

Заметим, что функция  всюду непрерывная, а ее производная функция разрывная.

Пример 3.

Найти .

Решение. Найдем сначала производную в точке .

Пусть теперь  

Итак,

Заметим, что  не существует, но , то есть функция  терпит разрыв в точке . Это точка разрыва второго рода.

Теорема. Если функция  имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из существования предела (1) следует

,

где бесконечно малая в точке х. Тогда

 при

Так как бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывная. Теорема доказана.

Следствие. Если функция определена в некоторой окрестности точки , но в точке  терпит разрыв, то  не существует. Доказательство от противного.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Очевидно, функция разрывная всюду, исключая точки  и . В них она непрерывная, поэтому, согласно следствию, она может иметь производную только в этих точках. Пусть  –рациональное, тогда

Пусть теперь – иррациональное, тогда

,

Итак, данная функция имеет производную только в одной точке , причем .

Пример 5. то есть разрывная функция имеет всюду производную. Где ошибка?

Замечание. Иногда рассматривают частный случай производной, так называемую симметрическую производную, или производную

Шварца. Она определяется формулой

 

.                         (2)   

    Очевидно, если существует обычная производная (1), то существует и равная ей производная Шварца. Однако, если обычная производная не существует, то симметрическая производная может существовать. Например, производная в нуле функции примера 2 не существует, а производная Шварца существует и равна нулю. Действительно,

.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: