Геометрический и физический смысл производной

 

Пусть  – функция непрерывная на интервале ,  и  – точки графика этой функции. Здесь

,  Проведем через точки  и  секущую (см. рис.). Запишем уравнение секущей.

.

                                        .                          (1)

Здесь

                    (2)

– угловой коэффициент секущей. При  в силу непрерывности функции  расстояние между точками  и  

стремится к нулю. Точка  по кривой приближается к точке , а секущая поворачивается вокруг точки . Ее предельное положение называют касательной к кривой, то есть к графику функции  в точке . Тогда из (2) получим угловой коэффициент касательной

.           (3)

А из уравнения секущей получим уравнение касательной

.                                        (4)

Из рисунка видно, что угловой коэффициент секущей (2) равен тангенсу угла ее наклона к оси , то есть  Так как , то отсюда ясен геометрический смысл производной – это угловой коэффициент касательной в точке . Если  или  то касательная будет перпендикулярна оси . Ее называют вертикальной касательной, а точку  на кривой – точкой перегиба. Говорят, что функция имеет в точке  бесконечную производную (см. рис.).

                       

 

Если левая и правая производные в точке  бесконечности разных знаков (  или наоборот), то и в этом случае прямую  называют вертикальной касательной, а точку  на кривой называют точкой возврата графика функции  (см. рис.).

 

 

Пример 1. Найти касательную к графику функции  в точке  (см. рис.).

Решение.

 

Так как функция не имеет производной в точке , то не имеет и касательной в точке . Однако, есть левая и правая касательные в этой точке:  и . Точка  графика функции называется угловой.

Пример 2. Найти касательную к графику функции  в точке .

Решение. – вертикальная касательная (см. рис. 5.7).

Пример 3.   Найти производную в точке .

Решение.

, .

Функция не имеет бесконечной производной в точке , но имеет вертикальную касательную. Точка (0, 1) графика функции является точкой возврата (см. рис.).

Пусть  – закон движения точки по траектории, то есть закон изменения пути  от времени .

 

Пусть в момент  времени  точка находится в пункте , а в момент времени  в пункте , то есть за время  точка прошла путь, равный

(см. рис.).

Величину

называют средней скоростью движения точки на участке , а

называют величиной мгновенной скорости в момент времени . Таким образом, одна из физических интерпретаций производной – скорость движения точки.

Пусть – масса стержня длиной . Тогда – масса стержня длиной , а  средняя плотность участка стержня длиной .  линейная (погонная) плотность стержня.

Пусть – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Тогда  количество электричества, протекающее за время , средний ток за время , а      мгновенный ток в момент времени .

Можно привести и другие интерпретации производной.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: