Правила вычисления производной и дифференциала

Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки .

Теорема. Если каждая из функций  и  имеют производную в точке , то сумма, произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, причем

1)

2)        

3)

Доказательство. Докажем третье утверждение теоремы (первое и второе утверждения доказать самостоятельно).

Дадим приращение  аргументу, тогда функции  и  получат приращения  и . Введем обозначение

и найдем

 

Теорема доказана.

Следствие 1. Постоянную можно выносить за знак производной. Действительно,  так как .

Следствие 2. В условиях теоремы имеют место равенства

1)  

2)  

3)

Докажем, например, 2).

 что и требовалось доказать.

Пример 1.   Найти производную.

Решение.

Пример 2. Функции   называют гиперболическими синусом и косинусом соответственно (см. рис.).

 

 

  Аналогично найдем .

Упражнение. Доказать, что

Пример 3.

Или согласно следствию 2

Производная обратной и сложной функций. Таблица производных

Теорема 1. Пусть функция  определена, непрерывна и строго монотонна в окрестности точки  и пусть ее производная в точке  существует и отлична от нуля,  Тогда обратная функция также имеет производную в точке , причем

.                                     (1)

Доказательство. Существование обратной функции , непрерывной и строго монотонной в окрестности точки  гарантирует теорема 3 §11 главы 4. Поэтому условия

  и

эквивалентны и так как обе функции строго монотонны, то  и . Запишем тождество

.                                              

Переходя к пределу, имеем

Так как предел правой части существует, то существует и предел левой части, то есть

Теорема доказана.

Равенство (1) можно записать в симметричной форме

.                                             

Индекс показывает, по какой переменной берется производная.

Пример 1.   Найти

Решение. .

Согласно  имеем

.

Итак,

.

Пример 2.

.

Итак,

.

Упражнение. Доказать, что , .

Если , а , то суперпозицию этих функций называют сложной функцией .

Теорема 2. Если и  существуют, где , то существует и производная сложной функции  в точке , причем

.                          

Доказательство. Так как функции  и  имеют производные в точках  и  соответственно, то и непрерывны в этих точках (см. §7). Сложная функция  непрерывна в точке  (см. теорему 2 §8 гл. 4), поэтому при . Функция  дифференцируема в точке , поэтому

(см. §3). . Итак,

.                                      

Теорема доказана.

Пример 3. Найти производную степенной функции .

Решение. ,  – сложная функция. Воспользуемся .

.

Итак,

Пример 4. сложная функция.  

Итак,

Пример 5. сложная функция.

Замечание 1. Теорема 2 верна и для большего числа суперпозиций функций.

Пример 5.

Сведем все вычисленные выше производные в таблицу (таблицу выучить наизусть).

 

Таблица

 

Замечание 2. Как видно из приведенных примеров, основные элементарные функции дифференцируемые. Из правил дифференцирования суммы, произведения, отношения, сложных функций следует, что любая элементарная функция имеет производную в области определения и является элементарной функцией в области определения.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: