Перенос энергии в электромагнитной волне

 

По определению, волна — возбуждение, не сопровождающееся переносом вещества. С другой стороны, волна переносит энергию. В случае ЭМВ перенос энергии характеризуется вектором Пойнтинга — энергией, переносимой в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную направлению распространения волны (вектору ). В ЭМВ вектор Пойнтинга

                                                                      (1.27)

и удовлетворяет соотношению, являющемуся дифференциальной формой закона сохранения энергии:

                                    ,                             (1.28)

где — объемная плотность энергии электромагнитного поля:

                                   .                            (1.29)

В случае плоской монохроматической электромагнитной волны из формул (1.12), (1.27) получаем

                                  .                           (1.30)

Интенсивностью I плоской ЭМВ называется среднее значение модуля вектора Пойнтинга. При этом под средним понимается среднее за достаточно большой (по сравнению со временем изменения поля в волне) промежуток времени . В частности, в случае плоской монохроматической волны частоты , при условии , имеем:

                ,        (1.31)

где — амплитуда электрического поля в волне.

Заметим, что в случаях сферической и цилиндрической волн, как следует из формул (1.17), (1.18), (1.21), (1.22), интенсивность  убывает с расстоянием от источника, соответственно, по законам:

                         , .                  (1.32)

Формальная расходимость в уравнениях сферической и цилиндрической волн в области малых расстояний непринципиальна, так как наблюдаемая величина — энергия, переносимая сферической или цилиндрической волной через соответствующую поверхность (сфера или цилиндр сколь угодно малого радиуса), конечна для любых  и  соответственно.

 

Геометрическая оптика

 

Наиболее просто решение задачи о распространении света в неоднородных средах выглядит в случае достаточно малых длин волн, когда выполнено неравенство , означающее, что амплитуда слабо меняется на расстояниях порядка длины световой волны. Часто такого рода предел количественно формулируется в виде  и называется геометрической оптикой, поскольку в этом случае основные законы оптики можно сформулировать на языке геометрии.

В пределе геометрической оптики свет распространяется вдоль линий, называемых лучами. Под лучом будем понимать линию, касательная к которой в каждой точке направлена так же, как и вектор . Отсюда, в частности, следует, что луч представляет собой линию, ортогональную семейству волновых поверхностей. Совокупность лучей называется пучком. Для лучей имеют место следующие законы:

1) в однородной среде свет распространяется прямолинейно;

2) лучи при пересечении не возмущают друг друга;

3) свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время (принцип Ферма).

В дальнейшем нас будет интересовать практическая сторона геометрической оптики: описание прохождения света через различного рода оптические системы.

Оптическая система представляет собой совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Обычно эти поверхности бывают сферическими или плоскими.

Оптическая система, образованная сферическими (в частности, плоскими) поверхностями, называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту прямую называют оптической осью системы.

Всякая оптическая система осуществляет преобразование световых пучков.

Если лучи при своем продолжении пересекаются в одной точке, пучок называется гомоцентрическим.

Частным случаем гомоцентрического пучка является пучок параллельных лучей; ему соответствует плоская световая волна.

Если система не нарушает гомоцентричности пучков, то лучи, вышедшие из точки P, пересекутся в одной точке . Эта точка представляет собой оптическое изображение точки P. Если любая точка предмета изображается в виде точки, изображение называется точечным или стигматическим. Изображение называется действительным, если световые лучи действительно пересекаются в точке , и мнимым, если в точке  пересекаются их продолжения, проведенные в направлении, противоположном направлению распространения света. Множество точек Р называется пространством предметов, а множество точек — пространством изображений.

Вследствие обратимости световых лучей точки  и  могут поменяться ролями: — источник, Р — изображение. По этой причине точки Р и  называют сопряженными.

Среди бесконечного множества сопряженных точек и сопряженных плоскостей имеются точки и плоскости, обладающие особыми свойствами. Такие точки и плоскости называются кардинальными. К их числу относятся фокальные, главные и узловые точки и плоскости. Задание кардинальных точек или плоскостей полностью определяет свойства идеальной центрированной оптической системы.

Фокальные плоскости и фокусы оптической системы. На рис.1.2 показаны внешние преломляющие поверхности и оптическая ось некоторой идеальной центрированной оптической системы. Возьмем в пространстве предметов этой системы плоскость S, перпендикулярную к оптической оси. Из соображений симметрии следует, что сопряженная с S плоскость  также перпендикулярна к оптической оси. Перемещение плоскости S относительно системы вызовет соответствующее перемещение плоскости . Когда плоскость S окажется очень далеко, дальнейшее увеличение ее расстояния от системы практически не вызывает изменения положения плоскости . Это означает, что в результате удаления плоскости S на бесконечность, плоскость  оказывается в определенном положении F '. Плоскость F ', совпадающая с предельным положением плоскости S ', называется задней фокальной плоскостью оптической системы.

 

 

Рис.1.2

 

Точка пересечения задней фокальной плоскости с оптической осью называется задним фокусом системы. Обозначают ее также буквой F '. Эта точка сопряжена с удаленной на бесконечность точкой , лежащей на оси системы. Лучи, выходящие из , образуют параллельный оси пучок (см. рис.1.2). По выходе из системы эти лучи образуют пучок, сходящийся в фокусе F '. Упавший на систему параллельный пучок может выйти из системы не в виде сходящегося (так на рис.1.2), а в виде расходящегося пучка. Тогда в точке F ' будут пересекаться не сами вышедшие лучи, а их продолжения в обратном направлении. Соответственно, задняя фокальная плоскость окажется перед (по ходу лучей) системой или внутри системы.

Лучи, вышедшие из бесконечно удаленной точки , не лежащей на оси системы, образуют параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. По выходе из системы эти лучи образуют пучок, сходящийся в точке Q ', принадлежащей задней фокальной плоскости, но не совпадающей с фокусом F ' (см. точку Q ' на рис.1.2). Из сказанного следует, что изображение бесконечно удаленного предмета будет лежать в фокальной плоскости.

Если удалить на бесконечность перпендикулярную к оси плоскость S ', то сопряженная с ней плоскость S придет в предельное положение F, которое называется передней фокальной плоскостью системы. Точка пересечения передней фокальной плоскости с оптической осью называется передним фокусом системы. Обозначают этот фокус также буквой F. Лучи, вышедшие из фокуса F, образуют после выхода из системы пучок параллельных оси лучей. Лучи, вышедшие из точки Q, принадлежащей фокальной плоскости, образуют после прохождения через систему параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. Может случиться, что параллельный по выходе из системы пучок получается при падении на систему не расходящегося, а сходящегося пучка лучей. В этом случае передний фокус оказывается за системой или внутри системы.

Главные плоскости и точки. Рассмотрим две сопряженные плоскости, перпендикулярные к оптической оси системы. Отрезок прямой (рис.1.3) y, лежащий в одной из этих плоскостей, будет иметь своим изображением отрезок прямой y ', лежащий в другой плоскости. Из осевой симметрии системы вытекает, что отрезки y и y ' должны лежать в одной, проходящей через оптическую ось, плоскости (в плоскости рисунка). При этом изображение может быть обращено либо в ту же сторону, что и предмет (см. рис.1.3, а), либо в противоположную сторону (см. рис.1.3, б). В первом случае изображение называют прямым, во втором — обратным. Отрезки, откладываемые от оптической оси вверх, принято считать положительными, откладываемые вниз — отрицательными. На рисунках указываются действительные длины отрезков, т.е. для отрицательных отрезков — положительные величины (–y) и (–y ').

 

 

                                          а)                                    б)

 

Рис.1.3

 

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным или поперечным увеличением. Обозначив его буквой , можно написать

                                         .                                  (1.33)

Линейное увеличение — алгебраическая величина. Оно положительно, если изображение прямое (знаки y и y ' одинаковы), и отрицательно, если изображение обратное (знак y ' противоположен знаку y).

Можно доказать, что существуют две такие сопряженные плоскости, которые отображают друг друга с линейным увеличением . Эти плоскости называются главными. Плоскость, принадлежащая пространству предметов, именуется передней главной плоскостью системы. Ее обозначают буквой H. Плоскость, принадлежащую пространству изображений, именуют задней главной плоскостью. Ее обозначают символом H '. Точки пересечения главных плоскостей с оптической осью называют главными точками системы (соответственно, передней и задней). Их обозначают теми же символами: H и H '. В зависимости от устройства системы главные плоскости и точки могут находиться как вне, так и внутри системы. Может случиться, что одна из плоскостей проходит вне, а другая — внутри системы. Возможно, наконец, что обе плоскости будут лежать вне системы по одну и ту же сторону от нее.

Узловые плоскости и точки. Узловыми точками или узлами называются лежащие на оптической оси сопряженные точки N и N¢, обладающие тем свойством, что проходящие через них (в действительности или при воображаемом продолжении внутрь системы) сопряженные лучи параллельны между собой (см. лучи 1 — 1¢ и 2 — 2¢ на рис.1.4). Перпендикулярные к оси плоскости, проходящие через узлы, называются узловыми плоскостями (передней и задней).

 

Рис.1.4

 

Расстояние между узлами всегда равно расстоянию между главными точками. В случае, когда оптические свойства сред, находящихся по обе стороны системы, одинаковы (т.е. n = n '), узлы совпадают с главными точками.

Фокусные расстояния и оптическая сила системы. Расстояние от передней главной точки H до переднего фокуса F называется передним фокусным расстоянием f системы. Расстояние от H ' до F ' именуется задним фокусным расстоянием f '. Фокусные расстояния f и f ' — алгебраические величины. Они положительны, если данный фокус лежит справа от соответствующей главной точки, и отрицательны в противном случае.

Можно доказать, что между фокусными расстояниями f и f ' центрированной оптической системы, образованной сферическими преломляющими поверхностями, имеется соотношение

                                       ,                                (1.34)

где n — показатель преломления среды, находящейся перед оптической системой; n ' — показатель преломления среды, находящейся за системой.

Величина

                                                                 (1.35)

называется оптической силой системы. Чем больше , тем меньше фокусное расстояние f ' и, следовательно, тем сильнее преломляются лучи оптической системой. Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). Чтобы получить  в диоптриях, фокусное расстояние в формуле (1.35) нужно взять в метрах. При положительной  заднее фокусное расстояние также положительно; следовательно, система дает действительное изображение бесконечно удаленной точки — параллельный пучок лучей превращается в сходящийся. В этом случае система называется собирающей. При отрицательной  изображение бесконечно удаленной точки будет мнимым — параллельный пучок лучей превращается системой в расходящийся. Такая система именуется рассеивающей.

Формула системы. Пусть (–x) и (x ’) — расстояния от предмета и его изображения до переднего и заднего фокусов соответственно, а (–s) и (s ’) — расстояния от предмета и изображения до передней и задней главных точек, f и (-f ’) — переднее и заднее фокусные расстояния (рис.1.5). Тогда имеет место:

                          .                   (1.36)

 

Рис.1.5

 

В случае, когда n = n ', выражения упрощаются и принимают вид

                          .                   (1.37)

Соотношения (1.36) называются формулами центрированной оптической системы.

Тонкая линза. Лупа. Линза представляет собой прозрачное (обычно стеклянное) тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (в частности, одна из поверхностей может быть плоской). Точки пересечения поверхностей с оптической осью линзы называются вершинами линзы. Расстояние между вершинами именуется толщиной линзы. Если толщина линзы мала по сравнению с наименьшим из радиусов кривизны ограничивающих линзу поверхностей, то линза называется тонкой. Для тонкой линзы главные плоскости совпадают и проходят через центр линзы. Фокусные расстояния тонкой линзы определяются выражением:

                           ,                   (1.38)

где n и — показатели преломления линзы и окружающей среды;  и — радиусы кривизны поверхностей линзы. Радиус кривизны — величина алгебраическая. Он положителен, если лежит справа от вершины поверхности и отрицателен в противоположном случае.

 

Рис.1.6

 

Лупа — собирающая линза (необязательно тонкая), позволяющая получить прямое, мнимое увеличенное изображение предмета. Предмет помещается между передним главным фокусом и передней главной плоскостью лупы (рис.1.6).

Многие наблюдатели ведут наблюдения с напряжением аккомодирующей мышцы, чтобы изображение получалось на привычном для них расстоянии наилучшего зрения. Для этого лупа вплотную придвигается к глазу, а рассматриваемый предмет помещается вблизи главного фокуса.

Применительно к лупе, как правило, не пользуются понятием линейного увеличения. Чаще говорят об угловом увеличении G.

Увеличение G лупы определяется как отношение угла, под которым виден предмет через лупу , к углу, под которым он был бы виден невооруженным глазом , если бы он был помещен от глаза на расстояние наилучшего зрения L, приблизительно равное 20 – 30 см.

                                     .                             (1.39)

Из формулы (1.39) следует, что большое увеличение лупы, как правило, достигается малым фокусным расстоянием.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: