Тема 5. Лабораторная работа

Тема 5. Лабораторная работа

Методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений»

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.

1. Методы Рунге-Кутты различных порядков, общие свойства.

2. Погрешности методов.

3.  Выбор шага интегрирования.

4. Графическая иллюстрация методов Рунге-Кутты.

 

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание в табл. 5-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

· дифференциальное уравнение ;

· интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;

· начальные условия x₀, y₀;

· шаг интегрирования h_.

2. Найти аналитическое решение y(x) заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.

3. Вычислить значения полученного решения  на отрезке [a;b] с шагом h.

4. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера – функцию ye(x) в первых 4-х точках отрезка [a;b] с шагом h «расчетом вручную» (можно использовать математический пакет только как калькулятор). Оценить погрешности полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).

5. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера – функцию y1(x) во всех точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

6. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 2 порядка – функцию y2(x) в точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

7. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 4 порядка – функцию y4(x) в точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

Вычислить значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода.

9. Графически проиллюстрировать полученные решения.

5.3. Варианты задания

                                                                                     Таблица 5-1

№ вар	Уравнение	x0	y0	h	a	b
1	y' = x y2	0	-2	0.4	0	4
2	y' = y2 (x2+ x + 1)	0	-2	0.2	0	2
3	y' = x3 y2	0	-2	0.2	0	2
4	y' = y / cos2(x)	0	1	0.1	0	1
5	y' = y cos(x)	0	1	0.5	0	5
6	y' = y2cos(x)	0	-1	0.4	0	4
7	y' = x2 y + y	0	1	0.2	0	2
8	y' = (x – 1)2 y2	0	-1	0.5	0	5
9	y' = x3 y	0	1	0.2	0	2
10	y' = y2 sin(x)	0	0.5	0.2	0	2
11	y' = y sin(x)	0	1	0.4	0	4
12	y' = x y	0	1	0.2	0	2
13	y' = y2 / x	1	1	0.2	1	2
14	y' = x2 y	0	1	0.2	0	2
15	y' = y2 (2 – x)	0	-1	0.4	0	4
16	y' = 3 x2 y2	0	-4	0.2	0	2
17	y' = y2 (ex + 4x)	0	-1	0.4	0	4
18	y' = y (x – 1)	0	1	0.4	0	4
19	y' = x (1 + y2)	0	0	0.2	0	1.6
20	y' = x / (2y)	0	1	0.4	0	4
21	y' = y / (3 x2)	1	1	0.2	1	3
22	y' = 4 x e-3y	1	0	0.2	1	3
23	y' = 2 x y	0	1	0.2	0	2
24	y' = 2 x (y1/2)	0	1	0.4	0	4
25	y' = y2 ex	0	-2	0.4	0	4
26	y' = x (1 – y2)1/2	0	0	0.4	0	1.6
27	y' = (1 + x) y	0	1	0.2	0	2
28	y' = x2 (1 – y2)1/2	0	0	0.4	0	1.6
29	y' = (x2 + x) y2	0	-1	0.4	0	4
30	y' = y2 / cos2(x)	0	-1	0.3	0	1.5
31	y' = y2sin x	0	1	0.1	0	1
32	y' = cos(x) y	0	1	0.1	0	1
33	y' =	0	1	0.1	0	1
34	y' = (x-1)2 y2	0	1	0.1	0	1
35	y' = y2 cos(x)	0	-1	0.1	0	1
36	y' = 0.5 y2	1	1	0.1	1	2
37	y' =  y2 x	0	-2	0.1	0	1
38	y' =	3	3	0.1	3	4
39	y' = y2 ex	1	-1	0.1	1	2
40	y' = e-y	1	0	0.1	1	2

 

 

Содержание отчета

1. Индивидуальное задание.

2. Решение ОДУ  аналитическим методом.

3. Значения полученного аналитического решения y(x) на отрезке [a;b] с шагом h, 

4. «Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера – функция ye(x) в первых 4-х точках заданного отрезка [a;b] с шагом h и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).

5. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Эйлера – функция y1(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

6. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 2 порядка – функция y2(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

7. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 4 порядка – функция y4(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

8. Вычисленные значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода.

9. Графическая иллюстрация  полученных решений.

 

 

5.5. Пример выполнения задания

1. Задание для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

· дифференциальное уравнение ;

· интервал [1;6];

· начальные условия x₀=1, y₀=1;

· шаг интегрирования h=0.5_.

Тема 5. Лабораторная работа

Методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений»

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.

1. Методы Рунге-Кутты различных порядков, общие свойства.

2. Погрешности методов.

3.  Выбор шага интегрирования.

4. Графическая иллюстрация методов Рунге-Кутты.

 

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание в табл. 5-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

· дифференциальное уравнение ;

· интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;

· начальные условия x₀, y₀;

· шаг интегрирования h_.

2. Найти аналитическое решение y(x) заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.

3. Вычислить значения полученного решения  на отрезке [a;b] с шагом h.

4. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера – функцию ye(x) в первых 4-х точках отрезка [a;b] с шагом h «расчетом вручную» (можно использовать математический пакет только как калькулятор). Оценить погрешности полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).

5. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера – функцию y1(x) во всех точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

6. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 2 порядка – функцию y2(x) в точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

7. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 4 порядка – функцию y4(x) в точках отрезка [a;b] с шагом h, используя математический пакет.

123Следующая ⇒

Поделиться: