Вычислить значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода.

9. Графически проиллюстрировать полученные решения.

5.3. Варианты задания

                                                                                     Таблица 5-1

№ вар	Уравнение	x0	y0	h	a	b
1	y' = x y2	0	-2	0.4	0	4
2	y' = y2 (x2+ x + 1)	0	-2	0.2	0	2
3	y' = x3 y2	0	-2	0.2	0	2
4	y' = y / cos2(x)	0	1	0.1	0	1
5	y' = y cos(x)	0	1	0.5	0	5
6	y' = y2cos(x)	0	-1	0.4	0	4
7	y' = x2 y + y	0	1	0.2	0	2
8	y' = (x – 1)2 y2	0	-1	0.5	0	5
9	y' = x3 y	0	1	0.2	0	2
10	y' = y2 sin(x)	0	0.5	0.2	0	2
11	y' = y sin(x)	0	1	0.4	0	4
12	y' = x y	0	1	0.2	0	2
13	y' = y2 / x	1	1	0.2	1	2
14	y' = x2 y	0	1	0.2	0	2
15	y' = y2 (2 – x)	0	-1	0.4	0	4
16	y' = 3 x2 y2	0	-4	0.2	0	2
17	y' = y2 (ex + 4x)	0	-1	0.4	0	4
18	y' = y (x – 1)	0	1	0.4	0	4
19	y' = x (1 + y2)	0	0	0.2	0	1.6
20	y' = x / (2y)	0	1	0.4	0	4
21	y' = y / (3 x2)	1	1	0.2	1	3
22	y' = 4 x e-3y	1	0	0.2	1	3
23	y' = 2 x y	0	1	0.2	0	2
24	y' = 2 x (y1/2)	0	1	0.4	0	4
25	y' = y2 ex	0	-2	0.4	0	4
26	y' = x (1 – y2)1/2	0	0	0.4	0	1.6
27	y' = (1 + x) y	0	1	0.2	0	2
28	y' = x2 (1 – y2)1/2	0	0	0.4	0	1.6
29	y' = (x2 + x) y2	0	-1	0.4	0	4
30	y' = y2 / cos2(x)	0	-1	0.3	0	1.5
31	y' = y2sin x	0	1	0.1	0	1
32	y' = cos(x) y	0	1	0.1	0	1
33	y' =	0	1	0.1	0	1
34	y' = (x-1)2 y2	0	1	0.1	0	1
35	y' = y2 cos(x)	0	-1	0.1	0	1
36	y' = 0.5 y2	1	1	0.1	1	2
37	y' =  y2 x	0	-2	0.1	0	1
38	y' =	3	3	0.1	3	4
39	y' = y2 ex	1	-1	0.1	1	2
40	y' = e-y	1	0	0.1	1	2

 

 

Содержание отчета

1. Индивидуальное задание.

2. Решение ОДУ  аналитическим методом.

3. Значения полученного аналитического решения y(x) на отрезке [a;b] с шагом h, 

4. «Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера – функция ye(x) в первых 4-х точках заданного отрезка [a;b] с шагом h и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).

5. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Эйлера – функция y1(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

6. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 2 порядка – функция y2(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

7. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 4 порядка – функция y4(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

8. Вычисленные значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода.

9. Графическая иллюстрация  полученных решений.

 

 

5.5. Пример выполнения задания

1. Задание для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

· дифференциальное уравнение ;

· интервал [1;6];

· начальные условия x₀=1, y₀=1;

· шаг интегрирования h=0.5_.

Точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения

Найдем точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения y(x) методом разделения переменных.

Запишем уравнение в виде  и проинтегрируем обе части равенства с учетом начальных условий.

 ;

 

Из начальных условий найдем константу c :

  , следовательно

 

Таким образом, аналитическое (точное) решение дифференциального уравнения

 

Значения точного решения ОДУ – y(x)

Вычислим значения полученного решения y ( x_i ), где , на отрезке [1;6] с шагом изменения аргумента h=0.5:

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: