Математичні моделі і чисельні методи

Відомо, що сучасних інженерів, дослідників в області електронної техніки, автоматики і т.д. математика цікавить перш за все як засіб розв’язування практичних задач, котрі виникають в даній області. Наприклад, потрібно побудувати систему автоматичного регулювання або якусь аналогову, цифрову схему. Одним із методів розв’язування є експеримент надто повільний і, як правило, дорогий метод. Приклад із своєї області – (BRM, RD). Як побачимо далі, експеримент використовують з метою перевірки математичної моделі.

Другий метод – математичний аналіз даної схеми або пристрою. Але такий метод застосовується не до реальних явищ, а до деяких математичних моделей цих явищ. Тому, перший етап роботи – це формування математичної моделі (постановка задачі).

Звичайно явища, що вивчаються, як правило, складні. Математична модель повинна охоплювати важливі сторони явища (для даної задачі). Якщо математична модель вибрана недостатньо ретельно, то, незалежно від застосовуваних методів розрахунку, всі результати будуть недостатньо надійними, а в деяких випадках можуть бути і неправильними.

Другий етап роботи – математичні дослідження. В залежності від складності моделі застосовуються різні математичні підходи. Для найбільш грубих і нескладних моделей часто вдається отримати аналітичний розв’язок. Для більш точних і складних моделей аналітичний розв’язок вдається отримати порівняно рідко. Наcамкінець, для найбільш важких і точних моделей основним методом роз’язку є чисельні, як правило, вони потребують розрахунку на ЕОМ.

Третій етап роботи – це осмислення математичного розв’язку і співставлення його з експериментальними даними. Якщо розрахунок і експеримент не узгоджуються, то модель необхідно переглянути і уточнити.

Чисельні методи є одними із потужних засобів розв’язування задач. Є задачі, де без достатньо складних чисельних методів не вдалося одержати відповіді; класичний приклад – відкриття Нептуна по аномаліях руху Урана. Часто потрібно велике число дій за короткий час, інакше відповідь буде непотрібна. Наприклад, добовий прогноз погоди повинен бути вирахуваний за декілька годин; корекцію траєкторії польоту ракети потрібно розрахувати за декілька хвилин (а іноді і секунд); режим роботи прокатного стана повинен коригуватися за секунду. Це є неможливим без застосування потужних ЕОМ.

Сучасні чисельні методи і потужні ЕОМ дали можливості вирішувати багато складних задач. Але застосовувати чисельні методи непросто. ЕОМ – це засіб праці сучасного інженера, яка може виконувати тільки елементарні арифметичні і логічні операції. Тому під час розробки автоматичної моделі, потрібна ще розробка алгоритму, який зводить всі обчислення до послідовності алгоритмічних і логічних дій. Сам алгоритм і програма повинні бути ретельно пеоревірені, про це свідчить навіть відомий вислів: “в будь-якій найменшій програмі є хоч одна помилка ”. Перевірка алгоритму є ще складнішою, бо для складних алгоритмів не часто вдається доказати збіжність класичними методами.

Розділ математики, який має справу із створенням і впровадженням чисельних алгоритмів для розв’язування складних задач різноманітних сфер науки, часто називають прикладною математикою.

Головна задача прикладної математики – фактичне знаходження розв’язку з необхідною точністю; цим вона відрізняється від класичної математики, яка основну увагу приділяє дослідженню умов існування і властивостей розв’язку.

Теоретично дослідження в сфері чисельних методів в основному групуються навколо типових математичних задач: задачі аналізу (наближення функцій, наближені диференціювання і інтегрування), задачі алгебри, розв’язування диференціальних і інтегральних рівнянь, задачі оптимізації і т.д.

Похибки обчислень.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: