Джерела і класифікація похибок.

Похибки обчислень зумовлені наступними причинами:

1) Математичний опис задачі являється неточним, зокрема неточно задані початкові дані опису.

2) Вживаний для розв’язку метод часто не є точним; одержання точного розв’язку вимагає необмеженого або недопустимо великого числа арифметичних операцій, тому замість одержання точного розв’язку задачі користуються наближеним розв’язком.

3) При вводі даних в машину, при виконанні арифметичних операцій і при виводі даних виконуються округлення.

Похибки, що відповідають цим причинам, називають:

1) неусувна похибка;

2) похибка методу;

3) обчислювальна похибка.

Основні задачі дослідження похибок.

1) Оцінка точності результату в залежності від різних видів похибок або оцінка повної похибки;

2) Створення алгоритмів, які забезпечують максимальну точність при виконанні мінімального об’єму обчислень.

Нехай А – точне значення деякої величини, а – відоме наближення до нього (наближене значення). Тоді

Δ = │А – а│

називають абсолютною похибкою числа а, а

 – відносною похибкою числа.

Слід розрізняти два випадки:

1) число А нам відоме, тоді Δ обчислюється за формулою;

2) число А – невідоме, що буває найчастіше, і отже, не можна визначити абсолютну похибку за формулою. В цьому випадку замість невідомої теоретичної абсолютної похибки Δ вводять її оцінку зверху, так звану граничну абсолютну похибку Δ_а. Тоді

Δ = │А – а│≤ Δ_а.

Звідси випливає, що точне значення А міститься в межах

а – Δ_а ≤ А ≤ а + Δ_а ,

або                                               А = а ± Δ_а

Граничною відносною похибкою δ_а називається будь-яке число таке, що

δ_а ≥ δ ;

Оскільки А звичайно невідоме, то зручно δ_а виразити через а. Як правило Δ_а << a, тому наближено

та Δ_а ≈│а│ δ_а .

 

Заокруглення чисел.

Досить часто виникає необхідність в заокругленні числа а, тобто зміні його числом а₁ з меншою кількістю значущих цифр. Число а₁ вибирають так, щоб похибка заокруглення була мінімальна.

Правила округлення за доповненням.

Щоб заокруглити число n до значущих цифр, відкидають всі його цифри, що стоять справа від n-ї значущої цифри, або якщо це потрібно для збереження розрядів, замінюють їх нулями.

При цьому:

1) якщо перша з відкинутих цифр менша 5-ти, то залишені десяткові знаки зберігаються без змін;

2) якщо перша з відкинутих цифр бульша 5-ти, то до останньої залишеної цифри додається одиниця;

3) якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5-ти, та серед решти відкинутих цифр є ненульові, то остання залишена цифра збільшується на одиницю;

4) якщо перша з відкинутих цифр дорівнює 5-ти, та серед решти відкинутих цифр є нульові, то остання залишена цифра зберігається незмінною, якщо вона парна і збільшується на одиницю, якщо вона непарна (правило парної цифри).

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: