Расчет статически неопределимых систем методом сил

Ряд узлов локомотива, таких как кузов, тележка, представляют собой статически неопределимые системы (СНС). СНС называется система, в которой не все реакции и внутренние силы можно определить, используя лишь уравнения равновесия твердого тела или системы твёрдых тел, так как они имеют лишние связи. За лишние принимаются те связи, которые можно отбросить, чтобы обратить систему в статически определимую и геометрически неизменяемую.

Количество лишних связей называют степенью статической неопределимости системы.

Для расчёта статически неопределимых систем применяют метод сил, метод перемещений, смешанный метод.

 В методе сил в качестве неизвестных рассматриваются силы, в методе перемещений – перемещения, в смешанном методе за неизвестные принимают частично силы, частично перемещения.

Идея метода сил заключается в том, что расчет заданной статически неопределимой системы заменяют расчетом основной системы, в качестве которой принимается такая статически определимая и геометрически неизменяемая система, которая получается из заданной путем отбрасывания лишних связей (разрезания лишних стержней).

При этом в местах разрезов “лишних стержней” вместо отброшенных “лишних опор” должны быть приложены соответствующие неизвестные усилия или моменты.

Так, если стержень имеет шарнирное закрепление концов, то разрез его дает неизвестную продольную силу , если в пределах длины стержня нет приложенных поперечных сил (рис. 10.1).

Если стержень имеет жесткое закрепление концов или приложенные по длине его силы, то к упомянутой выше силе  следует приложить поперечные силы и изгибающие моменты, действующие в одном или двух взаимно перпендикулярных направлениях, т.е. такой стержень при пространственном действии сил может иметь пять обобщенных неизвестных сил:

, , , , ,

Рис. 10.1. Схема сил, действующих на стержень при его разрезе

а при наличии кручения также крутящий момент (рис. 10.1). Если по отношению выбранного сечения стержня силы, направленные по оси , оказываются симметричными, то в этом сечении , точно так же при симметричном расположении сил, имеющих направление по оси , будем иметь .

Расположенные кососимметрично в отношении продольной оси симметрии рамы тележки вертикальные силы вызывают изгиб боковин в противоположные стороны, вследствие чего у поперечных балок по концам возникают крутящие моменты.

Путем разреза “лишних стержней”, отбрасывания ”лишних опор” и введения неизвестных вместе с внешней нагрузкой получают статически определимую систему, и ставят условия, чтобы перемещения по приложенным неизвестным силам равнялись нулю, т.е. эти силы должны иметь такое значение, при котором основная система работала бы так же, как и заданная.

Обозначают искомые обобщённые усилия через , ,… , а перемещения вызванные действием единичных сил , ,…, , через , , …  и т.д. При этом первый индекс означает направление перемещения, второй - номер силы, вызывающей перемещение. Пользуясь принципом независимости действия сил, каждое искомое перемещение может быть выражено как сумма перемещений, вызванных всеми силами – заданными и искомыми.

Из этих условий получают систему канонических уравнений метода сил, необходимых для определения неизвестных , ,   

;                         

;              (10.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      

,                                

где , ,  - перемещения в основной системе, вызванные заданной силой  по направлению сил , ,… .

Значения перемещений от единичных сил  и от заданной силы  можно определить по формуле Мора-Максвелла. Вид выражений, по которым вычисляются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, зависит от того, какие виды деформаций стержней расчетной схемы принимаются во внимание. Например, если учитываются деформации изгиба, кручения, сдвига и растяжения (сжатия), указанные величины определяются следующими выражениями

 

         (10.2)

где , , , , ,  - соответственно крутящий и изгибающий моменты, поперечные силы, продольная сила от единичной силы ; , , , , ,  - соответственно крутящий и изгибающий моменты, поперечные силы, продольная сила от единичной силы ; ,  - главные центральные моменты инерции поперечного сечения стержня относительно осей  и ;  - приведенный момент поперечного сечения при кручении;  - площадь поперечного сечения; , - коэффициенты, зависящие от формы поперечного сечения.

 

        (10.3)

где , , , , ,  - соответственно крутящий и изгибающий моменты, поперечные силы, продольная сила в поперечном сечении стержня от заданной нагрузки в основной системе.

Для рам тележек влияние поперечных сил  и  на перемещение при действии изгибающего момента очень невелико, поэтому соответствующие слагаемые в формулах (10.2) и (10.3) можно отбросить. Таким образом, зная закон изменения , , , , , , ,  по длине отдельных элементов основной схемы, можно аналитически подсчитать интегралы Мора-Максвелла.

Если стержни расчетной схемы состоят из ряда прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, то вычисление интегралов можно упростить, так как эпюры от единичных сил на прямолинейных участках стержня являются линейными функциями. В этом случае используя теорему Верещагина.

Если известна площадь одной эпюры (криволинейной или прямолинейной формы)  и ордината другой эпюры, обязательно прямолинейной формы, взятая под центром тяжести первой эпюры , то в соответствии с теоремой Верещагина будем иметь

,                       (10.4)

Таким образом, операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) под центром тяжести первой. Такую операцию называют перемножением эпюр. Результат перемножения эпюр является положительный, если обе эпюры расположены по одну сторону оси стержня, и отрицательны, если они находятся по разные стороны от неё.

Пример. Перемножение эпюр по способу Верещагина (рис. 10.2)

В соответствии с формулой (10.4) будем иметь

для рис. 10.2 а

                                       (10.5)

для рис. 9.2 б

                                       (10.6)

Рис. 10.2. Пример использования теоремы Верещагина а) перемножение двух прямоугольных эпюр;  б) перемножение треугольной и прямоугольной эпюры.

Примеры перемножения эпюр других форм представлены в специальной литературе [5].

После определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений производится их решение, и определяются лишние неизвестные. Решение канонических уравнений целесообразно выполнять на ЭВМ. После того как будут определены все неизвестные, можно перейти к построению эпюры моментов в заданной раме по основной системе. Полученную эпюру называют окончательной эпюрой моментов . Для ее построения удобно воспользоваться принципом сложения. При этом момент  в рассматриваемой раме находят как сумму моментов от каждого неизвестного , ,…,  и от заданной нагрузки. Ординаты этой эпюры определяются по формуле

             (10.5)

 

⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒

Поделиться: