Завдання на обчислення мішаного добутку векторів

Приклад 1. Визначити, якою трійкою (правою чи лівою) є вектори
1)
2)
3)
4)
5)

Розв'язок. Знайдемо мішаний добуток і за знаком з'ясуємо, яку трійку векторів вони утворюють

1) Виконуємо обчислення везначника побудованого на перших трьох векторах


Вектори утворюють праву трійку ( ).

2)

Вектори утворюють праву трійку ( ).

3) Знаходимо визначник третього порядку


Вектори утворюють ліву трійку, оскільки отримали від'ємний визначник ( ).

4)

Вектори утворюють праву трійку ( ).

5)

Вектори утворюють ліву трійку ( ).

6)

Дані вектори лінійно залежні.

 

Приклад 2. З'ясувати лінійну залежність векторів
1)
2)
3)

Розв'язок. Знайдемо мішаний добуток і перевіримо чи відмінні від нуля визначники
1)

Визначник рівний нулю, отже робимо висновок про лінійну залежність веторів .

2) Знаходимо визначик побудований на трьох веторах


Вектори лінійно незалежні ( ) та утворюють ліву трійку.

3) Обчислюємо мішаний добуток векторів


Вектори лінійно залежні ( ).

 

Задачі на поділ відрізка в заданому відношенні дуже часто зустрічаються в геометрії і правила, які будуть нижче викладені стануть в нагоді.
Нехай маємо дві точки і потрібно знайти точку на відрізку , яка ділить його у відношенні

Координати точки шукаємо за формулами

У випадку поділу відрізку пополам отримаємо відому формулу

Розглянемо приклади.

 

Приклад 1. Відрізок , що з'єднує точки та розділити у відношенні

Розв'язок. За правилами поділу відрізка знаходимо координати шуканої точки С



Невідома точка буде мати координати

Не таке і складне завдання ділити відрізок у певному відношенні, як Ви мабуть думали. Розглянемо ще одне завдання, щоб Ви в цьому переонаися.

 

Приклад 2. Знайти точку , яка ділить відрізок у відношенні , якщо відомо координати точки поділу та початку відрізка

Розв'язок. Підставляємо наші дані у формули поділу відрізка



З отриманих нерівностей визначаємо координати кінця відрізку



Остаточно точка буде мати координати

Проекція вектора на вісь

Основні поняття

Н ехай у просторі задана вісьl, тобто спрямована пряма. Проекцією точки М на вісь l називається основа перпендикуляра , опущеного із точки на вісь.

Точка єточкою перетину осі l із площиною, що проходить через точку М перпендикулярно осі.

Якщо точка М лежить на осі , то проекція точки М на вісь збігається з М.

Нехай – довільний вектор ( ). Позначимо через і проекції на вісь відповідно до початку А і кінця В вектора й розглянемо вектор (рис. 2.7).

Рисунок 2.7

Проекцією вектора на вісь називається додатне число , якщо вектор і вісьl однаково спрямовані й від'ємне число , якщо вектор і вісь l протилежно спрямовані. Якщо точки й збігаються ( =0), то проекція вектора дорівнює 0.

Проекція вектора на вісь позначається так: . Таким чином, із означення маємо

Кут між вектором і віссю l (або кут між двома векторами) зображений на рис. 2.8. Очевидно, що .

Рисунок 2.8

Властивості проекцій

1. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором та віссю, тобто

.

Доведення.

Якщо , то .

Якщо , то .

Якщо , то .

Наслідки.

1. Проекція вектора на вісь додатна (від'ємна), якщо вектор утворює з віссю гострий (тупий) кут, і дорівнює нулю, якщо цей кут – прямий.

2. Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.

2. Проекція суми декількох векторів на ту саму вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь, тобто

.

Доведення.

Н ехай, наприклад, . Маємо

, тобто .

3. При множенні вектора на число його проекція на вісь також помножується на це число, тобто

.

Доведення.

При : .

При : .

При властивість очевидна.

Таким чином, лінійні операції над векторами приводять до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: