Базис на площині та у просторі. Розкладання вектора за базисом

Базисом на прямій називається всякий ненульовий вектор цієї прямої. Будь-які два неколінеарних вектори , взяті у певному порядку, утворять базис на площині. Базисом у просторі назвемо три некомпланарних вектори, взятих у певному порядку.

Теорема. Будь-який вектор на площині може бути єдиним способом розкладений по базисних векторах , тобто .

Доведення.

Перший випадок. Нехай || . Тоді з необхідної та достатньої умови колінеарності двох векторів маємо . Отже,

Другий випадок. Нехай вектор не є колінеарним ні вектору , ні вектору (рис. 2.9).

Рисунок 2.9

Тоді , де || , а || . Через те, що і , то .

Теорему доведено.

Коефіцієнти в розкладанні називаютьсякоординатами вектора в базисі .

Теорема. Будь-який вектор у просторі може бути єдиним способом, розкладений по базисних векторах ,тобто .

Доведення.

З деякої точки О відкладемо всі чотири вектори: й . Через точкуА проведемо три площини, які паралельні відповідним площинам, що проведені через пари векторів ; ; .Точки перетину зазначених площин із прямими, на яких лежать вектори ,позначимо відповідно через . Проводячи такі побудови, одержимо паралелепіпед, у якого – діагональ.

За означенням суми трьох векторів .Через те, що || , || , || , то маємо .

Теорему доведено.

Коефіцієнти в розкладанні називаються координатами вектора в базисі .

Базис називається ортонормованим, якщо базисні вектори попарно ортогональні та довжина кожного з них дорівнює одиниці.

Означення напрямних косинусів

Означення.

Напрямні косинуси вектора (направляючі косинуси вектора) a – це косинуси кутів, які вектор утворює з додатними півосями координат.

Напрямні косинуси однозначно задають напрямок вектора.

Основне співвідношення.

Щоб знайти напрямні косинуси вектора a необхідно відповідні координати вектора поділити на модуль вектора.

Відповідні координати одиничного вектора дорівнюють його напрямними косинусам.

Властивість напрямних косинусів.

Сума квадратів напрямних косинусів дорівнює одиниці.

 

Формули обрахунку напрямних косинусів вектора

Формула обрахунку напрямних косинусів вектора для плоских задач

У випадку плоскої задачі (рис. 1) напрямні косинуси вектора a = {a_x ; a_y} можна знайти скориставшись наступною формулою

cos α =	ax	;	cos β =	ay
	|a|			|a|

Властивість:

cos

² α + cos² β = 1

рис. 1

 

Формула обрахунку напрямних косинусів вектора для просторових задач

У випадку просторової задачі (рис. 2) напрямні косинуси вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} можна знайти скориставшись наступною формулою

cos α =	ax	;	cos β =	ay	;	cos γ =	az
	|a|			|a|			|a|

Властивість:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1

рис. 2

 

Приклади задач з напрямними косинусами вектора

⇐ Предыдущая123

Поделиться: