ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные или дифференциалы различных порядков этой функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких — то уравнением в частных производных или уравнением математической физики . В дальнейшем будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения, которые будем называть просто дифференциальными уравнениями (ДУ).

Простейшим примером дифференциального уравнения является задача о нахождении первообразной для заданной функции , так как ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей дифференциальному уравнению

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

(1)

где — некоторая неявная функция от (п+2) переменных. Порядок п старшей производной называется порядком дифференциального уравнения. Например, уравнение

- дифференциальное уравнение третьего порядка.

Дифференциальное уравнение п-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной , если оно имеет вид

где f — некоторая функция от (п + 1) переменной.

Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция

является решением уравнения

так как

для любых х.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей его интегрирования . График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Поскольку

то исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов:

Выполняя почленное интегрирование, получаем

где С₁ – произвольная постоянная. Вновь записывая производную как отношение двух дифференциалов, приходим к равенству

Интегрируя почленно, окончательно получаем

где С₂ - произвольная постоянная.

Ясно, что без дополнительных предположений решение данного уравнения второго порядка неоднозначно. Другими словами, дифференциальное уравнение задает семейство интегральных кривых на плоскости. Для выделения однозначно определенной интегральной кривой (решения) достаточно указать точку плоскости, через которую проходит искомая интегральная кривая, а также направление, в котором она проходит через эту точку. Условия такого рода обычно называют начальными, поскольку часто дифференциальные уравнения используются для описания динамических процессов — процессов, проходящих во времени. В этих случаях независимая переменная х обозначает время. Например, если известно, что

то приходим к решению

Аналогично, для выделения однозначно определенного решения дифференциального уравнения п-го порядка следует, вообще говоря, дополнительно задать п начальных условий.

Общим решением дифференциального уравнений (1) п-го порядка называется такое его решение

, (2)

которое является функцией переменной х и п произвольных независимых постоянных С₁, С₂, ..., С _п.

Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С₁, С₂, ..., С _п.

В примере 1 формула

выражает общее решение, а формула

частное решение заданного дифференциального уравнения.

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые заданного семейства (2), следует продифференцировать равенство (2) п раз, считая что у - функция независимой переменной х, а затем из полученных равенств и равенства (2) исключить постоянные С₁, С₂, ..., С_п.

Пример 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

Решение. Дифференцируя заданную функцию, находим, что

или

Далее, дифференцируя обе части еще раз, получаем

или

Исключая из этих двух равенств постоянную С₂, приходим к уравнению

К дифференциальным уравнениям приводят ряд задач экономики, физики, химии, биологии, геодезии, экологии и т.п.

УПРАЖНЕНИЯ

Составить дифференциальные уравнения семейств кривых:

12.19. у = Сх².

12.20. у² = 2 Сх.

12.21. х³ = С (х² – у²).

12.22. у = С₁ е^2х + С₂е^-х.

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

12.23. ху' – у = у³.

12.24. у – ху' = (1 + х²у').

12.25. ху у' = 1 – х².

12.26. ху dx + (х + 1) d у = 0.

12.27. = xy dy.

12.28. 2х²уу' + у² = 2.

12.29. у у' + х = 1.

12.30. у' = 10^х+у.

Решить уравнения, используя замену переменной:

12.31. у' – у = 2х – 3.

12.32. (2 x – y ) dx + (4 x – 2 y + 3) dy = 0.

Решить однородные дифференциальные уравнения:

12.33. у = .

12.34. (х-у) у dx – x ² dy = 0.

12.35. ( x ² + y ² ) dx – 2 xy dy = 0.

12.36. у dx + dy = 0.

12.37. у dy + ( x – 2 y ) dx = 0.

12.38. y = x ( y' – ).

Решить линейные уравнения первого порядка:

12.39. .

12.40. у' + = х³.

12.41. y²dx – (2ху + 3) dy = 0.

12.42. y' – y = e^x.

Решить уравнения, используя понижение порядка:

12.43. y ''' = е^2х.

12.44. х (у'' + 1) + у' = 0.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

12.45. ( у" х – у') = х³, у (1) = 1, у' (1) = 0.

12.46. 2у (у')² + у" = 0, у (0) = 0, у' (0) = - 3.

Решить линейные однородные уравнения:

12.47. у" – 5у' + 6у = 0.

12.48. у" + 2 y ' + y = 0.

12.49. у ' – у = 3у".

12.50. у" + 4у' + 3у = 0.

Решить линейные уравнения:

12.51. у" – 4у' + 4у = х².

12.52. у" + 2у ' + у = е^2х.

12.53. у" – 8у' + 7у = 14.

12.54. у " – 4у = е^х.

Найти решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

12.55. у" – 2у' + у = 0, у (2) = 1, у' (2) = - 2.

12.56. у" + у = 4е^х, у (0) = 4, у' (0) = - 3.

12.57. у" – 2у' = 2е^х, у (1) = - 1, у' (1) = 0.

12.58. у" + 2у' + 2у = хе^-х, y (0) = у' (0) = 0.

12.59. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% первоначального количества?

Указание. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству вещества, имеющегося в рассматриваемый момент.