Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

у" + ру' + qy = r (х),            (12.33)

где р, q — некоторые действительные числа, r (х) — некоторая функция. Если r (х) = 0, то уравнение

y " + py ' + qy = 0                 (12.34)

называется однородным; в противном случае при r (х) ≡ 0 уравнение (12.33) называется неоднородным.

Можно доказать, что существует единственное решение уравнения (12.33), удовлетворяющее начальным условиям y ( x ₀ ) = z ₁, у' (х₀)= z ₂, где x ₀, z ₁, z ₂ — некоторые (действительные) числа.

Рассмотрим сначала решение линейного однородного уравнения (12.34) с постоянными коэффициентами.

Напомним, что линейной комбинацией функций у₁ (х) и у₂ (х) с коэффициентами С₁ и С₂ называется выражение вида C ₁ у₁ (х) + C ₂ у₂ (х). Если линейная комбинация функций C ₁ у₁ (х) + C ₂ у₂ (х) равна нулевой функции только тогда, когда коэффициенты C ₁ и С₂ равны нулю, то функции у₁ и у₂ называются линейно независимыми, в противном случае — линейно зависимыми.

► Пример 12.16. Убедиться в линейной независимости следующих функций:

а)  и , где λ ₁ ≠ λ ₂; б)  и ; в)  и , где β ≠ 0.

Решение. а) Если C ₁  + C ₂  ≡ 0, то C ₁ ≡ - C ₂ , но так как λ ₁ ≠ λ ₂, то функция, стоящая в правой части последнего равенства, является постоянной, только если C ₂ = 0 и, следовательно, C ₁ = 0.

б) Тождественное равенство C ₁  + C ₂  ≡ 0 возможно, только если функция C ₁ + С₂х является нулевой, откуда следует C ₁ = С₂ = 0.

в) Предположим, что C ₁  + С₂  ≡ 0.

Тогда  +  ≡ 0. Если хотя бы один из коэффициентов C ₁ или С₂ отличен от нуля, то нетрудно подобрать такое значение переменной х, что функция в левой части последнего равенства отлична от нуля (например, x = 0 или x = ). Поскольку это невозможно, то C ₁ = С₂ = 0. ►

Говоря о решениях уравнения (12.34), отметим прежде всего, что они обладают, как говорят, структурой линейного пространства: если у₁ (х) и у₂ (х) — решения уравнения (12.34), то их линейная комбинация

у = C ₁ у₁ + С₂ у₂,                   (12.35)

где C ₁ и С₂ некоторые числа, также является решением этого уравнения. Действительно, подставляя функцию (12.35) в (12.34), получаем

y " + py ' + qy =

.

Другими словами, формула (12.35) задает способ построения новых решений уравнения (12.34) из уже имеющихся. Возникает вопрос: сколько и какие решения уравнения (12.34) следует задать, чтобы с их помощью можно было описать все решения этого уравнения? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 1. Если у₁ (х) и у₂ (х) — линейно независимые частные решения уравнения (12.34), то общее решение этого уравнения явля ется линейной комбинацией этих частных решений, т.е. имеет вид (12.35) для некоторых действительных чисел C ₁ и С₂.

Итак, чтобы найти общее решение уравнения (12.34), надо знать два его частных решения у₁  и у₂.

Будем искать решение уравнения (12.34) в форме

у = ,                                   (12.36)

где λ — некоторое (действительное) число, (если такое существует). Так как ( )" + р ( )' + q  = (λ ² +рλ + q ) , то функция (12.36) является решением уравнения (12.34), если число λ есть корень уравнения

λ ² +рλ + q = 0,                     (12.37)

которое называется характеристическим уравнением исходного уравнения (12.34).

Описание решений уравнения (12.34) зависит от того, имеет ли соответствующее характеристическое уравнение (12.37) два различных корня, один корень или не имеет действительных корней. Справедлива теорема.

Теорема 2. 1. Пусть характеристическое уравнение (12.37) урав нения (12.34) имеет действительные корни λ ₁ и λ ₂, причем λ ₁ ≠ λ ₂. Тогда общее решение уравнения (12.34) имеет вид

у= C ₁  + C ₂ ,                  (12.38)

где C ₁ и С₂ — некоторые числа.

2. Если характеристическое уравнение (12.37) имеет один корень λ (кратности 2), то общее решение уравнения (12.34) имеет вид

у= C ₁  + C ₂ ,                 (12.39)

где C ₁ и С₂ — некоторые числа.

3. Если характеристическое уравнение (12.37) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (12.34) имеет вид

у = C ₁  + С₂ , (12.40)

где α = - р/2, β = , C ₁, С₂ — некоторые числа.

□ Принимая во внимание теорему 1 и результаты, полученные в примере 12.16, для доказательства достаточно проверить, что функции, линейные комбинации которых рассматриваются в п. а, б, в, действительно являются решениями уравнения (12.34) при сделанных предположениях. В случае функций  и  из п. а и функции  из п. б справедливость этого утверждения вытекает из замечания о функциях вида (12.36) (см. выше). Проверку остальных случаев мы оставляем читателю в качестве упражнения. ■

► Пример 12.17. Найти частное решение следующих уравнений при указанных начальных условиях:

а) y " – 3 y ' + 2 y = 0, у (0) = 3, y ' (0) = 4;

б) y " – 2 y ' + y = 0, у (0) = 1, y ' (0) = 0;

в) y " – 2 y ' + 2 y = 0, у (0) = 1, y ' (0) = 1.

Решение. а) Решая характеристическое уравнение λ ² – 3λ + 2 = 0, находим его корни λ ₁ = 1, λ ₂ = 2. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид у= C ₁  + C ₂ . Найдем такие значения постоянных C ₁ и С₂, при которых выполняются заданные начальные условия. Так как у (0) = C ₁ + С₂ и y ' (0) = C ₁ + +2 С₂, то постоянные C ₁ и С₂ находим, решая систему

Откуда C ₁ = 2, С₂ = 1.

По теореме о существовании и единственности решения уравнения вида (12.33) найденное частное решение у = 2е^х + е^2х — искомое.

б) Решая характеристическое уравнение λ ² – 2λ + 1 = 0, получаем λ ₁ = λ ₂^: = 1. Согласно п. 2 теоремы 2 общее решение дифференциального уравнения (12.34) имеет вид у = ( C ₁ + С₂х) е^х. Так как у (0) = 1, то C ₁ = l и, поскольку y ' = у + С₂е^х и у (0) = 0, то С₂ = - 1. Таким образом, окончательно ползаем частное решение

у = (1 – х) е^х.

в) Характеристическое уравнение λ ² – 2λ + 2 = 0 не имеет действительных корней. В этом случае согласно п. 3 теоремы 2 общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = C_l e^x sin x + C₂ e^x cos х (α = β = 1).

Так как у (0) = 1, то С₂ = 1. Найдем y ' = (C ₁ – С₂) e^x sin х + (C ₁ + С₂ ) е^х cos х. Учитывая, что у' (0) = 1, получим C ₁ = 0. Таким образом, приходим к частному решению у = е^х cos х . ►

Перейдем теперь к решению линейного неоднородного уравнения (12.33) с постоянными коэффициентами.

Это уравнение может быть в частности решено методом ва риации произвольных постоянных, который состоит в следующем. Сначала находится общее решение у = C ₁ у ₁ + С₂у₂ однородного уравнения (12.34), имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение (12.33). Затем решение уравнения (12.33) находится в виде y = C₁ (x) у ₁ + С₂ (х) у₂, т.е. предполагается, что постоянные C₁ и С₂ являются функциями независимой переменной х. При этом функции C₁ (x) и С₂ (х ) могут быть найдены как решения системы

                       (12.41)

► Пример 12.18. Решить уравнение

у" – 3у + 2у = е^х.                 (12.42)

Решение. Решая соответствующее однородное уравнение

у" – 3у' + 2у = 0                  (12.43)

(см. пример 12.17. а), находим

у = C ₁ е^х + С₂ е^2х.

Полагая теперь, что C ₁ и С₂ — функции переменной х, найдем первые производные этих функций, решая систему (12.41)

Найдем C ₁ = - 1,  = е^-х. Полученные дифференциальные уравнения — с разделяющимися переменными. Решая эти уравнения, получаем C ₁ = - х + С₃, С₂ = - е^-х + С₄, где С₃, С₄ — некоторые постоянные. Таким образом, окончательно решение уравнения имеет вид

у = (- х + С₃) е^х + (- е^-х + С₄) е^2х = С₃ е^х + С₄ е^2х + (- х – 1) е^х. ►

Обратим внимание на структуру полученного решения. Первые два слагаемых — это общее решение однородного уравнения (12.43), соответствующего исходному дифференциальному уравнению (12.42). Последнее слагаемое, как нетрудно убедиться непосредственным вычислением, — частное решение исходного уравнения (12.42). Аналогичное утверждение справедливо и в общем случае, т.е. справедлива теорема.

Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного дифференци ального уравнения (12.33) равно сумме общего решения соответст вующего однородного уравнения (12.34) и частного решения исход ного неоднородного уравнения (12.33).

Следует отметить, что метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, поэтому в ряде случаев целесообразно использовать другие методы решения, основанные на теореме 3. Сначала, как и при методе вариации произвольных постоянных, находится общее решение однородного дифференциального уравнения (12.34), а затем отыскивается частное решение неоднородного уравнения (12.33). При этом вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения (12.33), и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.

УПРАЖНЕНИЯ

Составить дифференциальные уравнения семейств кривых:

12.19. у = Сх².

12.20. у² = 2 Сх.

12.21. х³ = С (х² – у²).

12.22. у = С₁ е^2х + С₂ е^-х.

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

12.23. ху' – у = у³.

12.24. у – ху' = (1 + х²у').

12.25. ху у' = 1 – х².

12.26. ху dx + (х + 1) d у = 0.

12.27.  = xy dy.

12.28. 2х² уу' + у² = 2.

12.29. у у' + х = 1.

12.30. у' = 10^х+у.

Решить уравнения, используя замену переменной:

12.31. у' – у = 2х – 3.

12.32. (2 x – y ) dx + (4 x – 2 y + 3) dy = 0.

Решить однородные дифференциальные уравнения:

12.33. у = .

12.34. (х-у) у dx – x ² dy = 0.

12.35. ( x ² + y ² ) dx – 2 xy dy = 0.

12.36. у dx + dy = 0.

12.37. у dy + ( x – 2 y ) dx = 0.

12.38. y = x ( y' –   ).

Решить линейные уравнения первого порядка:

12.39. .

12.40. у' +  = х³.

12.41. y² dx – (2ху + 3) dy = 0.

12.42. y' – y = e^x.

Решить уравнения, используя понижение порядка:

12.43. y ''' = е^2х.

12.44. х (у'' + 1) + у' = 0.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

12.45. (у" х – у') = х³, у (1) = 1, у' (1) = 0.

12.46. 2у (у')² + у" = 0, у (0) = 0, у' (0) = - 3.

Решить линейные однородные уравнения:

12.47. у" – 5у' + 6у = 0.

12.48. у" + 2 y ' + y = 0.

12.49. у ' – у = 3у".

12.50. у" + 4у' + 3у = 0.

Решить линейные уравнения:

12.51. у" – 4у' + 4у = х².

12.52. у" + 2у ' + у = е^2х.

12.53. у" – 8у' + 7у = 14.

12.54. у " – 4у = е^х.

Найти решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

12.55. у" – 2у' + у = 0, у (2) = 1, у' (2) = - 2.

12.56. у" + у = 4е^х, у (0) = 4, у' (0) = - 3.

12.57. у" – 2у' = 2е^х, у (1) = - 1, у' (1) = 0.

12.58. у" + 2у' + 2у = хе^-х, y (0) =  у' (0) = 0.

12.59. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% первоначального количества?

Указание. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству вещества, имеющегося в рассматриваемый момент.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: