Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка

 

Дифференциальное уравнение (4) называется автономным ,  если функция     зависит только от переменной  у,  т.е. если уравнение имеет вид

                                  (7)

Например, рассмотренное выше уравнение (5) — автономно.

Уравнения такого типа часто встречаются на практике. Например, если дифференциальное уравнение описывает динамическое действие некоторого закона природы, то естественно предположить, что сам закон не будет изменяться с течением времени, и потому в запись правой части (4) время х не входит.

Ниже мы будем предполагать, что для функции  выполнены условия, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения (7) при произвольном значении переменной у,  т.е. положим, что функция  имеет непрерывную производную при любом у.  Пусть,  кроме того,  нули функции   , т.е. корни уравнения  не имеют предельных точек, т.е. все они отстоят друг от друга не менее, чем на заданную положительную величину.

Будем предполагать, что уравнение (7) описывает процесс движения точки по прямой Оу, которая называется также фазовой прямой (переменная х обозначает время). В этом случае у' - это скорость движения точки. Она зависит только от координаты точки и не зависит от значения текущего момента времени.

Особую роль в проводимом анализе будут играть нули функции   . Убедимся в том,  что если   ,  и точка в некоторый момент времени имеет координату   , то с течением времени х она не меняет своего положения на фазовой прямой Оу. Очевидно, что во все предшествующие моменты времени она находилась в этой же точке.   Действительно, проверяем подстановкой, что

-  решение уравнения (7).  Но решение     как раз и описывает точку,  не меняющую с течением времени своего положения.  Ввиду изложенных причин нули функции  называются также положениями равновесия или стационарными точками.

Пусть  а, b, с, ... - нули функции   . Прямые  у = а, у = b, у = с, ... разбивают всю координатную плоскость на полосы, расположенные параллельно оси абсцисс. Рассмотрим особенности интегральных кривых, заполняющих одну из таких полос. Так как функция  непрерывна, то согласно (7)  производная  у'   знакопостоянна на произвольном интервале между положениями равновесия.  Поэтому все интегральные кривые, лежащие в одной полосе, задаются либо только возрастающими, либо только убывающими функциями.

Пример. Построить семейство интегральных кривых уравнения (5).

Решение.   В данном случае    и единственным нулем этой функции является . В результате вся координатная плоскость разбивается прямой  на две полуплоскости («полосы»). Решения (5) описываются функциями вида (6). При  получаем решение , отвечающее неподвижной точке. Для всех  имеем семейство монотонно возрастающих функций,  для  -  монотонно убывающих  (см.рис. 4).

Рис. 4

Рассмотрим интегральные кривые, лежащие в выделенной полосе, например кривые , где . Поскольку С  = С₁ е^х, где С₁ = С  > 0, то при параллельном переносе интегральной кривой вдоль оси абсцисс вновь получается интегральная кривая, причем из того же семейства.

Пусть  у = С₁ е^х и у = С₂ е^х  - две интегральные кривые указанного семейства и С₁ > С₂. Для произвольного положительного числа у₀ через х₁ и х₂ обозначим такие абсциссы, что  у₀ = С₁  = С₂  . Тогда, перенося кривую у = С₁ е^х  вправо вдоль оси абсцисс на величину  х₂ – х₁, мы получаем пару интегральных кривых, проходящих через одну точку  (х₂, у₀).  В силу теоремы о единственности решения эти две интегральные кривые совпадают. Таким образом, все интегральные кривые одной полосы получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси абсцисс.

Отметим также, что прямая , отвечающая неподвижной точке дифференциального уравнения, является горизонтальной асимптотой интегральных кривых этого уравнения.

Можно доказать, что утверждения, сформулированные при решении примера, остаются справедливыми в общем случае.

Описывая движение точки по фазовой прямой, мы полностью сохраним качественную информацию об этом движении, если вместо интегральных кривых изобразим лишь возможные траектории точки с указанием направления движения. Графическое изображение этих траекторий, называемых   фазовыми,  дает   фазовый портрет  автономного уравнения. Например, фазовый портрет уравнения    изображен на рис. 5.

Рис. 5

В данном случае фазовая прямая распадается на три траектории: интервалы (- ∞; 0), (0; + ∞ ) и положение равновесия   .

Пример.     Найти фазовый портрет уравнения

Решение.    Решая уравнение , получаем положения равновесия:    .   Траекторий в данном случае будет пять: интервалы (- ∞; - 1), (- 1; 1), (1; + ∞ ) и точки .

Из вида решаемого уравнения следует, что если    или , то ,  решение  - убывающая функция, и, следовательно, точка движется по фазовой прямой с уменьшением своей координаты  (влево).

Если , то , и точка движется вправо. Окончательный фазовый портрет изображен ниже.

Рис. 6

Направления движения точки вблизи ее положения равновесия определяют тип положения равновесия. Например (см. рис. 6), находясь в достаточной близости от точки у = 1, подвижная точка будет лишь приближаться к точке равновесия у = 1. Такие положения равновесия называются устойчивыми. Наоборот, находясь в достаточной близости от точки у = - 1, подвижная точка будет лишь удаляться от положения равновесия у = - 1. Такие положения равновесия называются неустойчивыми. Возможен также третий тип точек равновесия — так называемые точки полуустойчивого равновесия. (Например, точка у = 0 уравнения у' = у (см. рис. 7) или точка у = 0 уравнения у = у — у (см. рис. 8).

Рис. 7

Рис. 8

 

Типы дифференциальных уравнений первого порядка:

· Неполные уравнения

· Уравнения с разделяющимися переменными

· Однородные уравнения

· Уравнения, приводящиеся к однородным

· Линейные уравнения

· Уравнения Бернулли

· Уравнения в полных дифференциалах

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: