Поток событий. Простейший поток и его свойства

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек на числовой оси (рис. 19.3.1), соответствующих моментам появления событий.

Рис. 19.3.1.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

В настоящем мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд определений.

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной (рис. 19.3.1) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1-3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона (см. 5.9).

Поток событий– это последовательность событий, при которой они происходят одно за другим в случайные моменты времени. Случайный поток можно также назвать случайным точечным процессом, так как реализации такого процесса представляют собой случайную последовательность точек на временной оси.

Случайный точечный процесс, удовлетворяющий трем условиям: ординарности, стационарности и отсутствию последствий, называется простейшим или пуассоновским процессом или потоком.

Свойства простейшего потока событий.

Стационарность– свойство потока событий, заключающееся в том, что вероятность появления определенного числа событий за фиксированный промежуток времени не зависит от положения этого промежутка на оси времени, а зависит только он его длины, т.е. плотность потока появления событий постоянна во времени.

Ординарность– свойство потока, заключающееся в том, что события возникают поодиночке, а не группами, и практически невозможно одновременное появление двух и более событий.

Отсутствие последствия– свойство потока, заключающееся в том, что вероятность появления определенного числа событий в течение некоторого промежутка времени не зависит от числа и характера возникновения событий до начала этого промежутка времени, т.е. события взаимно независимы и случайные промежутки времени между соседними событиями также взаимно независимы.

На практике не всегда одновременно выполняются все три свойства, но простейший поток очень удобен для решения различных задач.

Важным понятием является интенсивность потока λ(t) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока событий его интенсивность есть величина постоянная, т.е. λ(t) = λ= соnst.

Простейший (стационарный пуассоновский) поток описывается распределением (законом) Пуассона

где а = λ×t,

т.е.

здесь k– число событий на интервалеt;

р(k) – вероятность появления k событий за интервал времени t.

Оценка параметра а выполняется следующим образом. Если п – число проведенных испытаний и k_i – число событий, появившихся в i-м испытании, то оценка максимального правдоподобия параметра а равна .

На рис. 4.9 приведено семейство распределений Пуассона для различных значений параметра а.

Для простейшего потока с интенсивностью λ интервал Т между соседними событиями имеет показательное распределение с плотностью

Если отсутствует свойство стационарности, то имеет место нестационарный пуассоновский поток (λ – зависит от времени), у которого интервал между появлениями событий уже не подчиняются показательному закону распределения.

Рисунок 4.9.

Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма(или рекуррентным). Для такого потока интервалыТ₁,Т₂, … между событиями представляют собой последовательности независимых случайных величин с одинаковым произвольным распределением. При показательном распределении интервалов между событиями поток Пальма становится простейшим потоком.

Потоки Пальма применяются в теории надежности при процессах восстановления изделий после отказов.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: