Простейший поток событий Пуассона.

Простейшим потоком событий Пуассона называется такой поток событий, который удовлетворяет следующим условиям:

1.Все события происходят мгновенно, то есть длительность любого события равна нулю. События можно рассматривать как точки на числовой оси времени.

2. Все события происходят независимо друг от друга.

3. Свойство ординарности: вероятность того, что за бесконечно малый промежуток времени произойдет два или более событий есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем вероятность того, что за этот же промежуток времени произойдет ровно одно событие.

Характеристикой простейшего потока является его интенсивность μ – математическое ожидание количества событий, происходящих за единицу времени (среде вероятное количество событий, происходящих за единицу времени). Размерность μ есть . Мы будем рассматривать только стационарные потоки событий, в которых μ не меняется во времени.

Часто встречающиеся распределения случайных величин.

1. Дискретные случайные величины.

1. Индикатор случайного события.

Пусть А — случайное событие, — вероятность события А.

индикатор события I(A) - дискретная случайная величина такая что

С
ледовательно, ряд распределения случайной величиныI(A) запишется так:

I(A)
0	1-p
1	p

Математическое ожидание .

Таким образом, математическое ожидание индикатора события равно вероятности этого события.

Дисперсия .

1.2. Равномерное распределение дискретной случайной величины.

X– случайная величина (СВ), которая может принимать значения только из множества чисел, представляющих собой конечную арифметическую прогрессию. Ряд распределения имеет вид:

…	…

Здесь и так далее. Вероятности принятия того или иного значения одинаковы и равны .

Математическое ожидание .

Дисперсию вычислим по общей формуле: .

Найдем закон распределения интервалов времени между событиями для простейшего потока. Рассмотрим случайную величину - промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Требуется найти функцию распределения .

Рассмотрим противоположное событие . Это вероятность того, что, начиная с некоторого момента появления события, за время не появится больше ни одного события. Так как поток без последействия, то тот факт, что событие появилось в момент , не должен оказать никакого влияния на поведение потока в дальнейшем. Поэтому вероятность , откуда и плотность распределения вероятности .

Такой закон распределения называется показательным (экспоненциальным) с параметром l. Найдем математическое ожидание и дисперсию этого процесса:

;

.

Показательный закон обладает замечательным свойством: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (он будет таким же, как закон распределения промежутка ).

Докажем это свойство. Пусть - вероятность того, что обслуживание, продолжавшееся (с), еще продлится не менее (с): т.е. на интервале времени a+t не произойдет ни одного события. При показательном законе распределения времени обслуживания .

По теореме о произведении вероятностей событий . При показательном законе ; и, следовательно, , т.е. при показательном законе времени обслуживания закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от того, сколько времени уже длилось обслуживание. Можно доказать, что показательный закон единственный, для которого справедливо это свойство.

Рассмотренное свойство, по существу, представляет другую формулировку свойства отсутствия последействия.

Разновидностью марковского процесса с дискретными состояниями S₀,S₁,S₂,…,S_n является процесс гибели и размножения, - если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из промежуточных (средних) состояний (S₁,S₂,…,S_n-1) может переходить только в соседние (смежные) состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния (S₀иS_n) переходят только в соседние состояния (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Граф состояний для процесса гибели и размножения

 

Название процесса взято из биологических моделей, где состояние популяцииS_kозначает наличие в популяции k единиц особей. Переход вправо связан с размножением особей, а влево - с их гибелью, то есть, из рис. 4.2:

· λ₀(t),λ₁(t),λ₂(t),…,λ_n-1(t) - интенсивности размножения;

· μ₁(t),μ₂(t),μ₃(t),…,μ_n(t) - интенсивности гибели.

Примечание. У λ и μ индекс того состояния, из которого стрелка выходит.

Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего процесса гибели и размножения (когда процесс перешел в стационарный режим) определяются по следующим формулам:

 

P₀= {1 +(λ₀/μ₁) + [(λ₀∙λ₁)/( μ₁∙μ₂)] +…+ [(λ₀∙λ₁∙…∙λ_n-1)/( μ₁∙μ₂∙…∙ μ_n)]},^-1

 

P_k=P₀∙(λ₀∙λ₁∙…∙λ_k-1)/(μ₁∙μ₂∙…∙ μ_k),k= 1, 2,…, n.

 

Правило: "вероятность k-го состояния в процессе гибели и размножения равна дроби, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей размножения, стоящих левее S_k, а в знаменателе - произведение всех интенсивностей гибели, стоящих левее S_k, умноженной на вероятность крайнего левого состояния системы P₀".

Для простейшего процесса гибели и размножения (когда он перешел в стационарный режим) в тех случаях, когда интенсивности размножения и гибели постоянны формулы для финальных вероятностей упрощаются

 

P₀=e,^{-(λ / μ)}

P_k= {[(λ/μ)^k] / k!} ∙ e ^-(λ/μ).

 

Примечание. Данные формулы корректны для случая, когда отсутствует ограничение на k. При наличии ограничения k≤n формулы для финальных вероятностей выглядят следующим образом:

 

P₀=e^-α / [∑α^k∙e^-(α/k!) ], где α= λ/μ;

 

P_k=P₀∙(α/k!), гдеk= 0, 1, 2,…, n.

В практике встречаются процессы чистого размножения (в них интенсивности всех потоков гибели равны нулю) и процессы чистой гибели (в них интенсивности всех потоков размножения равны нулю).

10
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы — систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.

Классификация СМО

Первое деление (по наличию очередей):

• СМО с отказами;
• СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом, т. е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т. д.

Типы ограничения очереди могут быть комбинированными.

Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы.

Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии.

По количеству каналов СМО делятся на:

• одноканальные;
• многоканальные.

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: