Лазерные пучки высшего порядка.

Принцип Гюйгенса.

Рассмотрим падение световой волны на плоскость z=0 с окном Σ.

Каждая точка волнового фронта является источником сферической волны. Дальнейшее распространение волны определяется суммой сферических волн, проходящих в отверстие. При этом энергия передается не только в прямом направлении, но и в области геометрической тени.

Количественно: Нужно просуммировать волны, попавшие в окно Σ.

Поле в окне задано :

Где -амплитуда волны, -фаза волны в каждой точке.

Рассчитаем поле в произвольной точке А пользуясь принципом Гюйгенса.

***

Плоская волна описывается уравнением , знак – соответсвует волне, распространяющейся в направлении увеличения z, + - в противоположном направлении.

Экспоненциальная форма записи уравнения плоской волны:

Такая форма записи удобна для дифференцирования в волновых уравнениях, но физический смысл имеет только мнимая часть этого выражения.

В теории дифракции, где учитывается монохроматичность волны ( ), для удобства вычислений экспоненту не пишут (но учитывают). Уравнение плоской волны записывают в виде:

Сферическая волна Фаза волны меняется в пространстве, зависит от радиус-вектора r. Набег фазы определяется kr. Плотность потока энергии убывает обратно-пропорционально r², а амплитуда убывает обратно-пропорционально r:

***

В точку А волна попадет, пройдя расстояние R, при этом надо учесть набег фаз.

В соответствии с принципом Гюйгенса поле в т.А равно:

где интегрирование идет по всему окну, - вклад от одного элементарного источника, (x,y)-координаты точки в окне.

Расстояние: R= , подставляем в предыдущее уравнение:

2. Рассмотрим задачу в параксиальном приближении.

Углы, под которыми видна т.А –малы. При этом , <<1. Рассмотрим корень в параксиальном приближении.

= = т.к. и z=0.

Выражение для принимает вид:

3. Выражение в знаменателе можно заменить 1, т.к. в амплитуду выражение дает малые поправки, которыми можно пренебречь. В числителе в экспоненте мы не можем провести эту замену т.к. выражение оказывает существенное влияние на фазу. (Фаза определяется как , где и могут быть больше π)

учитывая нормировочный множитель и множитель, постоянный по х и у:

(переобозначение- =СФ)

Выражение описывает поле в произвольной точке А за экраном, оно определяет фундаментальное для физической оптики интегральное преобразование - преобразование Френеля .

Рассмотрим уточнение преобразования Френеля.

4. Вынесем за знак интеграла множители, не содержащие переменных интегрирования:

Переобозначим =Сf

Приближение Релея: если , то можно пренебречь фазой.

, , , где а –размер окна. Если точка очень далека от экрана, то с некоторого расстояния z’ условие начнет выполняться.

L- расстояние от окна до т. наблюдения, . Комбинация чисел носит название число Френеля: N_фр=

Рассматриваются такие области, где N_фр<<1, область пространства, где выполняется данное соотношение называется дальней зоной (зоной Фраунгофера)

, , (пространственная частота)

преобразование Фурье

***

Преобразование Фурье.

Если есть функция f(t) (закон, сигнал), то функцию - называют преобразованием Фурье. (комплексный спектр функции)

Обратное преобразование Фурье:

Преобразование Фурье- переход от сигнала к спектру.

***

В дальней зоне работает преобразование Фурье (мы перешли от преобразования Френеля к преобразованию Фурье)

Области:

I – Область геометрической тени - L≈λ (не успевают сработать дифракционные эффекты, т.к. поле не затекает в область геометрической тени)

II – Ближняя зона – работает преобразование Френеля

III – Дальняя зона – работают преобразования Френеля и Фурье .

Гауссов пучок.

У гауссовского пучка амплитуда из центра к периферии меняется по закону Гаусса. (в любой плоскости, перпендикулярной оптической оси)

Данная функция обладает свойством: при использовании преобразования Френеля или Фурье она преобразуется в подобную же ей.

(подобные функции, распределение поля то же, но растянуто в плоскости.)

Этим свойством обладает не только пучки с Гауссовым распределением, но и Гауссо-Эрмитовы пучки (пучки высшего порядка).

Координаты в окне - (x,y), координаты точки А – (x’,y’)

Введем переобозначения: (x,y)=>(ξ, η); (x’,y’)=>(x,y)

Преобразование Френеля:

можно свести к табличному интегралу Пуассона путем замены переменных. Выделим в показателе экспоненты: ( )= ( -новая переменная), домножим/разделим на

= = =

Сравнивая коэффициенты при степенях ξ:

ξ²	-А²	-1/а₀²-jk/2z
ξ	-2AB	jkx/z

Отсюда A= и B_ξ= . Аналогичные вычисления проводятся и для

Можно показать, что воспользовавшись выражением для A и В, получается значение поля:

где и

Т.е.

Вывод.

1. Полученное путем вычислений выражение удовлетворяет уравнению Гаусса. (пучки типа ТЕМ₀₀)

При больших z: а(z)≈2a₀z/ka₀²=z/πa₀

Угол дифракционной расходимости: Θ=λ/πa₀

Поле расходится, а поток энергии остается тем же самым, площадь под кривыми равна.

2. Физическая интерпретация множителей, ответственных за фазу Гауссова пучка.

1) - изменение фазы соответствует однородной плоской бегущей волне.

2) - добавка к фазе (0,π/2), где ка₀²/2-фокальный параметр пучка. Для Гауссовых пучков не играет роли

3) - описывает фазу и характеризует искривление волнового фронта.

Величина - определяет радиус кривизны волнового фронта.

При z =>0 R(z)=>

При z=> R(z)=>z

Если рассматривать волновой фронт, то в т. z=0 он будет являться плоским, далее кривизна будет увеличиваться до некоторого z_min=ка₀²/2 (R_min=ka₀²), после чего опять уменьшаться.

Расходимость зависит от а₀.

Если взять z=0, то R(0)= , а(0)=а₀

Если известно значение z, то можно определить параметры а(z) и R(z) по формулам: , . Независимыми являются только 2 параметра из 3, т.е. если заданы 2 произвольных параметра из 3-х, то пучок определяется однозначно.

3) !

Таблица сравнения гауссова и гомоцентрического пучков.

Гомоцентрический пучок

Гауссов пучок

1. Прохождение слоя пространства

R_z₁-радиус кривизны ОП1,ОП2 –опорные плоскости 1 и 2 d=z₂-z₁ –слой пространства

R(z₂)=R(z₁)+d

OП1:

, ОП2:

При прохождении слоя пространства комплексный параметр преобразуется как радиус кривизны волнового фронта гомоцентрического пучка.

2. Прохождение пучка через тонкую линзу

R_вх, R_вых -радиусы кривизны волнового фронта. Связь между ними определяется формулой тонкой линзы. Формула тонкой линзы на языке радиуса кривизны волнового фронта:

где -оптическая сила.

Т.о. кривизна волнового фронта на выходе равна кривизне волнового фронта на входе минус оптическая сила.

a₂(z) = a₁(z) Вещественная часть, отвечающая за кривизну изменяется по формуле тонкой линзы для кривизны:

Радиус кривизны волнового фронта гомоцентрического пучка и комплексный параметр Гауссова пучка преобразуются одинаковым образом при прохождении слоя пространства и тонкой линзы. Поэтому можно пользоваться существующей аналогией.

Пример:

1) ОП1: R_вх, а_вх,

2) На входе линзы = +d₁

3) Прохождение тонкой линзы:

4) ОП2: = +d₂

Для упрощения процедуры расчета Гауссовых пучков можно воспользоваться представлением о лучевых матрицах : (приводятся, опираясь на аналогию между радиусом кривизны гомоцентрического пучка и комплексным параметром Гауссова пучка)

Для гомоцентрического пучка

, , ,

-радиус кривизны на входе, -радиус кривизны на выходе.

разделим 1 на 2, =

В силу существующей аналогией между R и :

-Теорема ABCD для Гауссовых пучков.

Диаграмма устойчивости.

Критерий устойчивости: , где -конфигурация резонатора

На данной диаграмме штриховано там, где не выполняется условие устойчивости.

1) Конфокальный резонатор. (КФР)

Пусть g1=g2=0, = : L=R1=R2 в этом случае F1=F2

2) Плоскопараллельный резонатор. (ППР)

Пусть = , следовательно R1= R2=

3) Концентрический резонатор (КЦР)

Пусть = , L/R1=2, L=2R1.

Пусть:

R1= , g1=1, g2=1/2

Можно выбрать разные геометрии резонатора, чтоб была одна и та же каустика.

Неустойчивые резонаторы обладают большими дифракционными потерями. (они связаны с затеканием световой волны за апертуру зеркала)

Ход лучей в резонаторах:

ППФ

КФР

КЦР

ПКФ

Геометрический лучевой смысл устойчивости резонатора:

- ход лучей

Устойчив

Неустойчив

Алгебра резонатора

Связывает параметры резонатора с параметрами Гауссова пучка.

Комплексный параметр гауссова пучка:

, = ,

Используя правила знаков, получаем: d1=-z1, z1=

Добротность резонатора

Понятие добротности вводится в теории колебаний, оно связано с затуханием.

Например, для колебательного контура (L,C):

-временное представление. Добротность: (чем добротность лучше, тем уже характеристика: )

В случае лазера необходимо учитывать также тип колебаний: Q_mnq

где r_отр1=1, r_отр2<1 – коэффициенты отражения зеркал.

Энергия: , где ρ-объемная плотность энергии электромагнитного поля.

, , Следовательно:

Пространственный параметр потерь: Данное выражение записано для частного случая, когда , общем случае, вместо стоит Т - коэффициент передачи через 2L (за двойной проход)

Где - потери в резонаторе

Аналогичное рассмотрение можно использовать и для временного представления:

Временной параметр потерь: (время жизни фотона в резонаторе) ,

Амплитуда поля: (коэффициент 2 появляется т.к. I=A²)

Если использовать преобразование Фурье можно получить комплексный спектр и энергетический спектр :

= =…=

Резонансная мода:

, где -сумма всех видов потерь в резонаторе.

Потери:

1. Полезные – связаны с выводом излучения из резонатора через зеркала.

2. Вредные- поглощения в зеркалах, дифракционные потери, поглощение в активной среде, рассеяние, френелевское отражение.

Графики: (номограммы)

Для иллюстрации решения резонатора рассмотрим график распределения поля на зеркале резонатора для двух числе Френеля.

(результат точного оптического расчета)

Мода TEM ₀₀

x/a=1- край зеркала.

Вывод:

Увеличение числа Френеля приводит к резкому уменьшению амплитуды поля на краю зеркала, что резко уменьшает дифракционные потери. Это распределение похоже на ТЕМ₀₀

Единственный резонатор, решаемый точно- это конфокальный.

Мода TEM ₀₁

Рассмотрим распределение поля на апертуре зеркала для моды 01.

1. Если увеличивается число Френеля- поле на краю зеркала резко уменьшается

2. Сопоставляя графики приходим к выводу- у мод высшего порядка дифракционные потери больше, чем для мод 00

Плоский резонатор:

Для плоскопараллельного резонатора отсутствует собственная каустика. Задачу можно решить только численными методами –методом итераций.

На 100-300 шаге итерации начинает устанавливаться распределение поля, которое все точнее и точнее воспроизводится.

При этом симметрия исходной итерации сохраняется.

???

Сравниваем с КФР:

Дифракционные потери в ППР гораздо больше, чем в КФР (см края зеркал)

Для сравнения дифракционных потерь КФР и ППР построим линии дифракционных потерь на номограмме

Линейная поляризация.

Простейшим типом поляризации является линейная поляризация, при которой вектор Е колеблется строго в одной плоскости.

- эквивалентно

Т.к. нас интересует только направление, мы рассматриваем нормированный вектор

Θ- азимут линейной поляризации.

Круговая поляризация

Правоциркулярная поляризация

Левоциркулярная поляризация

Правокруговая поляризация может рассматриваться как результат сложения двух линейных по оси х и у. (колебания сдвинуты на 90⁰ )

= - правокруговая = - левокруговая

- нормировка

Вектора, которые мы используем, называются поляризационными векторами (вектор Джонса)- комплексный двумерный вектор

Эллиптическая поляризация.

1) Θ- азимут эллиптической поляризации.

2) Эллиптичность- arctg

3) Циркулярность: правая , левая

Эллиптическая поляризация представляет собой результат сложения 2-х линейных поляризаций по оси х и у:

Диаграмма Пуанкаре.

Диаграмма Пуанкаре является сечением сферы Пуанкаре, на которой находят отражения все поляризации.

Сфера Пуанкаре Сечение сферы

Рассмотрим частные случаи.

1. Пластинка λ/4 , =π/2

- матрица пластинки в собственных осях.

2. Пластинка λ/2 , = π

При прохождении световой волны через данную пластинку на выходе получается ортогональная поляризация

Пример: правокруговая поляризация переходит в левокруговую:

Произвольный угол между ξ и х

Матрица фазовой пластинки с произвольным радиусом:

Можно показать, что:

Фазовая пластинка- это фазовый поляризационный элемент.

Поляризатор- это амплитудный поляризационный элемент.

Запишем матрицу произвольного поляризационного элемента в собственных осях (диагональная матрица):

У идеального поляризатора =1, =0

Вывод:

Любой поляризационно-анизотропный элемент имеет 2 собственные оси:

, , , где Θ-угол между ξ и х.

Комплексное число z=|z| =|z|(cos(argz)+jsin(argz))

Оптический вентель.

От зеркала отражается круговая поляризация, она переходит в круговую, но противоположного направления.

При расчетах необходимо учитывать правило знаков:

Применение оптического вентеля:

Интерферометр Майкельсона.

Отраженная волна нежелательна, она нарушает работу лазера. Поэтому используют оптический вентель (ОВ)

Многокаскадная схема.

Отраженный луч (обозначен синим) нарушает работу генератора. Для его подавления используют оптический вентель.

9. Преобразование поляризации в полуволновой фазовой пластинке.

Рассмотрим преобразование поляризации в полуволновой фазовой пластинке:

= = =

= (линейная поляризация с азимутом 2Θ)

Полуволновая пластинка часто используется в схемах для согласования поляризации опорного и сигнального пучка ( интерферометрия, голография и т.д.)

Угол между ξ и х меняется по закону: Θ=Ωt

На входе имеется правокруговая поляризация

= =

, учитывая, что и вынося -j из выражения = , получаем:

= ( -левокруговая поляризация)

Волна описывается выражением:

, частота выходного излучения получает частотный сдвиг :

Применяются пластинки, вращающиеся с постоянной скоростью в двулучевом интерферометре, как устройства сдвига частоты:

На выходе нулевые биения (сигнал постоянного тока)

-световые биения.

Эффект Фарадея.

Среда помещена в магнитное поле, Θ= , где V- постоянная Верде.

Поворот плоскости поляризации согласован с направлением магнитного поля по правилу правой руки.

Существенное отличие эффекта Фарадея от естественной оптической активности:

1. Естественная: если поставить зеркало, то линейная поляризация вернется в исходное состояние

2. Эффект Фарадея: при аналогичной ситуации эффект удваивается, т.к. поворот происходит по правилу правой руки.

При двойном проходе в первом случае эффект поворота плоскости поляризации компенсируется, во втором случае- удваивается.

Эффект Фарадея.

Физический механизм эффекта Фарадея заключается в том, что намагниченная среда имеет разные показатели преломления для право- и левоциркулярной поляризаций.

У линейной поляризации на выходе меняется азимут.

Среда, находящаяся в магнитном поле представляет собой поляризационно – анизотропный элемент, собственные поляризации которого круговые.

(см. ортонормированный базис, мы можем использовать в качестве базиса правокруговую и левокруговую поляризации, если нам это удобно)

Матрица, описывающая эффект Фарадея:

- матрица Фарадеевского вращателя.

Применение эффекта Фарадея.

Небольшая часть собственного излучения возвращается от усилителя к генераторы, может быть нарушен баланс фаз и баланс амплитуд.

Используется оптический вентиль на эффекте Фарадея. Угол Θ=45⁰ , поэтому при отражении поворот будет на 90⁰ , поляризатор не даст пройти волне обратно.

, где -матрица тракта:

Чтобы найти собственные поляризации, нужно найти собственные функции матрицы :

- задача на собственные вектора и собственные числа ( )

//---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример.

Рассмотрим поляризационную анизотропию кольцевого резонатора.

Изотропный резонатор (т.к. четное число зеркал):

Анизотропный резонатор

1) Пишем матрицу полного прохода резонатора:

Пользуемся формулами для (см выше):

= , , , (линейная поляризация)

Кольцевые резонаторы используют:

1) Гироскопах

2) Получение одночастотных режимов генерации.

Рассмотрим волну, которая распространяется по часовой стрелке (одинарная стрелка)

Аналогично проводится анализ для другого луча. Показатель преломления n_пр не равен n_лев (зависит от Н),

Разница фазовых набегов получается:

- разные фазовые набеги, разные частоты. Происходит расщепление частот.

Δν

Δφ

Одночастотная генерация.

Рассмотрим использование поляризационных эффектов для получения однонаправленной генерации в кольцевом резонаторе. Данная схема используется, если нужно подавить одну из волн. Для получения одночастотной генерации используют: элемент с эффектом Фарадея (Ф.Э.)., поляризатор, элемент с естественной оптической активностью. Для волны, обозначенной одинарной стрелкой.

Для противоположной бегущей волны (двойная стрелка) – повороты плоскостей поляризации будут в одну сторону, волна не пройдет через поляризатор, она будет подавлена.

Селективное зеркало.

Толщина слоя λ/4, оптическая толщина слоев [n_i*d_i]= λ/4 Толстая подложка используется в качестве плавного фильтра (отсекает дополнительные длины волн), слои же чередуются: с низким показателем преломления, с высоким показателем преломления.

Высокий показатель преломления, например, ZnS n=2,3

Низкий показатель преломления, например, AlF₃ n=1,3

Зависимость коэффициента отражения от длины волны:

Для зеркала зависимость получается типа sinx/x

R_отр зависит от количества слоев:

Где Nсл – число слоев.

Фильтры.

1) Многослойные интерференционные (слои должны быть λ/2)

2) Использование функции пропускания материала от длины волны.

3) Газовые ячейки (поглощение газа для разных длин волн разное) - режекторные фильтры (поглощающие ненужные длины волн)

Если происходит конкуренция переходов, λ =3.39 мкм может подавить λ =0.69 мкм. Поэтому используют газовую ячейку, поглощающую λ =3.39 мкм на основе метана.

Наряду с этими методами используют так же специальные приемы, например, помещают капилляр в магнитное поле. При этом смещаются (расщепляются) энергетические уровни –эффект Зеемана. Этот эффект разный для разных длин волн.

Для λ =0.69 мкм

Для λ =3.39 мкм

Динамика генерации лазеров.

P(t) – поляризация активной среды E(t) - поле (моды, сумма мод) ΔN(t)- инверсия населенностей

Лазер – это сложная колебательно-волновая структура. В лазерной системе можно выделить 3 взаимосвязанных динамических переменных:

1. Поле

2. Поляризация активной среды

3. Инверсия населенностей.

Они описываются динамическими уравнениями (дифференциальные уравнения по времени)

=…, =…, =…

Колебательная система:

- свободные колебания, где - время релаксации (характеризует потери), - собственная частота осциллятора.

-вынужденные колебания, где -вынуждающая сила.

P ( t ) - поляризация.

Динамическое уравнение- уравнение типа осциллятора:

T₂ – время поперечной релаксации

- собственная частота осциллятора (частота лазерного перехода)

- нормированная инверсия населенностей

р₂₁ – матричный элемент дипольного момента

Если р₂₁=0, то говорят, что переход запрещен- нет вынуждающей силы («раскачки» поляризации)

3. Δ N(t) – инверсия населенностей.

Δn₀ – инверсия населенности в системе, где нет насыщения

T₁- время продольной релаксации (время изменения инверсии населенности)

Пример нестационарного режима генерации.

Твердотельный лазер с оптической накачкой.

1) Т.к. действует накачка- изменяется инверсия (квазистационарна)

2) Не достигается ΔN_пор – нет поля в резонаторе, работает только накачка

3) Достигается ΔN_пор – в точке 1 –особенность. Когда инверсия достигает порога начинается режим генерации, растет интенсивность I, но по мере увеличения интенсивности включается процесс насыщения, инверсия уменьшается. При уменьшении ΔN интенсивность падает и при достижении порога- равняется 0.

Импульс заканчивается когда насыщенная инверсия сравняется с порогом. Но инверсия опять растет, поэтому процесс повторяется и образуется 2 импульс.

В итоге получаются регулярные импульсы, τ_имп соизмеримо с τ_рез; Т₁; Т₂

Интенсивность неоднородна в среде. Также присутствует нерегулярность:

Отдельные пики с характерным периодом между ними.

Режим синхронизации мод.

Это определяет поле на выходе лазера.

На выходе получается динамический режим – последовательность коротких импульсов. Каждая из мод приобретает боковые частоты, которые взаимодействуют и происходит энергообмен, моды «завязываются» по фазе.

Дипольный момент.

Наблюдаемая величина – дипольный момент . Если нас интересует среднее значение величины, то:

Все состояния описываются волновыми функциями, они либо четные, либо нечетные.

Если , =0, , , .

Если частица в состоянии 11 или 22, то она не излучает, если в 12 или 21- излучение происходит только при переходе из одного состояния в другое.

Энергия.

4. Эрмитовы операторы:

5. Принцип суперпозиции:

Система описывается:

-плотность вероятности

-вероятности обнаружить систему в состоянии 1 и 2 соответственно.

6. Значение дипольного момента:

, но =0, =0 , следовательно:

, где и -матричные элементы.

Если состояние определяется (состояний может быть много):

…

Среднее по i состояниям:

, где - вероятность i-го состояния.

Выражение -величина, которая содержит 2 усреднения: по квантово-механическому состоянию и по ансамблю (i)

Получаем:

ρ- учитывает не только квантово-механическое, но и термодинамическое состояние системы.

-матрица плотности. Она описывает ансамбль микрочастиц.

-вероятность того, что любая частица находится в 1 состоянии в ансамбле. ( -вероятность, что можно получить i-е состояние, - вероятность обнаружения 1 частицу в 1 квантовом состоянии)

- квантово-механическое среднее

- усреднение по ансамблю

- след матрицы (spur)

, =

Инверсия.

Для получения динамического уравнения для поляризации необходимо знать какому уравнению подчиняются и

Обоснуем уравнение движения для матрицы плотности:

( ) (из уравнения Шредингера находим с_m и с_n , далее находим )

1) Уравнение Шредингера для динамической системы.

-уравнение движения

, в уравнение подставляем как линейную суперпозицию и получаем уравнения для с₁ и с₂ в отдельности.

подставляем в уравнение:

, получаем (произведение матриц)

- коммутатор.

-Уравнение движения матрицы плотности.

Поляризация.

Поляризация P (сумма дипольных моментов в единице объема)

P=N_общ , где:

-оператор дипольного момента

- средняя величина квантово-механическая

- средняя величина по ансамблю

N_общ – число частиц в единице объема

-гамильтониан, оператор полной энергии.

, - может быть 2 состояния, и .

В общем случае , где -без взаимодействия, -дипольное взаимодействие.

Энергия взаимодействия : ,

Гамильтониан всей системы: =

Уравнение для каждого матричного элемента матрицы плотности:

N₁=N_общ , N₂=N_общ , ,

Если посмотреть на уравнения 1 и 2, то при поле =0 населенности должны остаться теми же, как и во время генерации.

«От руки» мы должны дописать слагаемое – релаксационные члены (в отсутствии поля генерации)

где Т₁ –время продольной релаксации, Т₂ –время поперечной релаксации.

Уравнения учитывают релаксационные члены.

Надо получить уравнение для поляризации и инверсии населенностей.

Для инверсии населенностей.

Из уравнения (2) вычтем (1), из (4) –(3)

, где

Исключаем :

Возьмем производную от (***), в правой части выразим из (**), величину в (**) заменим из (***)=> исключение

Поляризация ведет себя как осциллятор.

Посмотрим на (*), нужно исключить используя (***) для получения уравнения для инверсии населенностей.

III

Где:

- инверсия, приведенная к одной частице

P_m –«проекция» поляризации на m-ю моду (часть поляризации, «раскачивающая» данную моду)

Данные уравнения описывают колебания в резонаторе.

Если рассматривать усиление сигнала вне резонатора, то уравнение I должно быть заменено уравнением бегущей волны.

Четырехуровневая схема.

Для двухуровневой и трехуровневой схемы =2

Для четырехуровневой схемы =1

=2	=1

Принцип Гюйгенса.

Рассмотрим падение световой волны на плоскость z=0 с окном Σ.

Количественно: Нужно просуммировать волны, попавшие в окно Σ.

Поле в окне задано :

Где -амплитуда волны, -фаза волны в каждой точке.

Рассчитаем поле в произвольной точке А пользуясь принципом Гюйгенса.

***

Экспоненциальная форма записи уравнения плоской волны:

***

В точку А волна попадет, пройдя расстояние R, при этом надо учесть набег фаз.

В соответствии с принципом Гюйгенса поле в т.А равно:

где интегрирование идет по всему окну, - вклад от одного элементарного источника, (x,y)-координаты точки в окне.

Расстояние: R= , подставляем в предыдущее уравнение:

2. Рассмотрим задачу в параксиальном приближении.

Углы, под которыми видна т.А –малы. При этом , <<1. Рассмотрим корень в параксиальном приближении.

= = т.к. и z=0.

Выражение для принимает вид:

учитывая нормировочный множитель и множитель, постоянный по х и у:

(переобозначение- =СФ)

Рассмотрим уточнение преобразования Френеля.

4. Вынесем за знак интеграла множители, не содержащие переменных интегрирования:

Переобозначим =Сf

Приближение Релея: если , то можно пренебречь фазой.

L- расстояние от окна до т. наблюдения, . Комбинация чисел носит название число Френеля: N_фр=

, , (пространственная частота)

преобразование Фурье

***

Преобразование Фурье.

Если есть функция f(t) (закон, сигнал), то функцию - называют преобразованием Фурье. (комплексный спектр функции)

Обратное преобразование Фурье:

Преобразование Фурье- переход от сигнала к спектру.

***

В дальней зоне работает преобразование Фурье (мы перешли от преобразования Френеля к преобразованию Фурье)

Области:

II – Ближняя зона – работает преобразование Френеля

III – Дальняя зона – работают преобразования Френеля и Фурье .

Гауссов пучок.

(подобные функции, распределение поля то же, но растянуто в плоскости.)

Координаты в окне - (x,y), координаты точки А – (x’,y’)

Введем переобозначения: (x,y)=>(ξ, η); (x’,y’)=>(x,y)

Преобразование Френеля:

= = =

Сравнивая коэффициенты при степенях ξ:

ξ²	-А²	-1/а₀²-jk/2z
ξ	-2AB	jkx/z

Отсюда A= и B_ξ= . Аналогичные вычисления проводятся и для

Можно показать, что воспользовавшись выражением для A и В, получается значение поля:

где и

Т.е.

Вывод.

1. Полученное путем вычислений выражение удовлетворяет уравнению Гаусса. (пучки типа ТЕМ₀₀)

При больших z: а(z)≈2a₀z/ka₀²=z/πa₀

Угол дифракционной расходимости: Θ=λ/πa₀

Поле расходится, а поток энергии остается тем же самым, площадь под кривыми равна.

2. Физическая интерпретация множителей, ответственных за фазу Гауссова пучка.

1) - изменение фазы соответствует однородной плоской бегущей волне.

2) - добавка к фазе (0,π/2), где ка₀²/2-фокальный параметр пучка. Для Гауссовых пучков не играет роли

3) - описывает фазу и характеризует искривление волнового фронта.

Величина - определяет радиус кривизны волнового фронта.

При z =>0 R(z)=>

При z=> R(z)=>z

Расходимость зависит от а₀.

Если взять z=0, то R(0)= , а(0)=а₀

3) !

Лазерные пучки высшего порядка.

(Гауссовские пучки высшего порядка, Гауссо-Эрмитовые пучки высшего порядка)

Волна обозначается как ТЕМ_mn, где m, n - индексы поперечного распределения (поперечной моды)

1) m- количество занулений поля вдоль оси х

2) n – количество занулений поля вдоль оси у

3) m+n - порядок пучка.

Распределение поля для Гауссо-Эрмитовых пучков (ТЕМ_mn), где m+n>0

Где Н – полиномы Эрмита:

Н₀	1
Н₁	2ξ
Н₂	4ξ²-2
…	…

1) Предельный случай m=n=0, Н₀=1 – получается выражение для Гауссова пучка.

2) Если m 0, n 0:

ТЕМ₁₀

Наличие множителей Н_m и H_n объясняют данное распределение.

Угол дифракционной расходимости , коэффициент возрастает при увеличении порядка пучка (m+n).

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 364; Нарушение авторского права страницы