контрольной работы по теме

«Ряды Фурье»

Задача 1.  Разложить в ряд Фурье функцию , имеющую период .

Решение.  Построим график функции

Эта функция  f ( x ) имеет период , одну точку разрыва первого рода  x=0 на отрезке , отрезок  можно разбить на два отрезка так, что внутри каждого из них функция f ( x ) монотонна.

По формуле (2) найдем коэффициент   этого ряда.

.

Найдем  по формуле (3)

По формуле (4)  найдем аналогичным образом

.

Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем   или .

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений изнутри отрезка, то есть в точке x=0.

= , а на концах отрезка в точках  и = .

Ответ.

Построим график S₄(x)

 

  Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную  на отрезке  сначала по синусам, затем по косинусам.

Решение.  Построим график

1. Продолжая эту функцию на промежуток   нечетным образом, получим функцию, ряд Фурье для которой составлен в §2, пример 2.

Ряд для такого разложения

Построим S₅(x)

2. Продолжая эту функцию на промежуток   четным образом. Построим график

 Эта функция  f ( x ) имеет период , четная, продолжена непрерывно.

. Найдем =

Это равенство справедливо во всех точках числовой прямой.

Построим график S₄(x)

Задача3.  Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , с периодом  Т=6.

Решение. Построим эскиз графика функции

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. Заданная функция общего вида с периодом Т=6, l=3, поэтому в разложении ее ряд Фурье имеет вид: .

Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем   или .  Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек -3 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Построим график S₅ (x)

Можно совместить оба графика на одном чертеже

 

Отметим близость этих графиков.

Задача4.  Разложить в ряд Фурье функцию . Построить график S₅(x).

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом T=3-1=2,  l=1 т.е. , T=2, l=1. Построим эскиз графика этой функции

Ряд Фурье для этой функции будет иметь следующий вид: .

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. .

Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем   или   Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек 1 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Построим график S₅ (x)   

 

Задача 5. Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: . Построить амплитудно-частотный спектр.

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом Т =2. Построим график.

Проверив выполнение условий Дирихле для функции , переходим к вычислению коэффи­циентов Фурье по формуле .

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, опре­деляется по частям:

;

Если , то полученные формулы не дают результата. Поэтому коэффициент   надо вычислить иначе׃ , так как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю. Окончательно получим

Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции . В точках разрыва , где  k- любое нечетное число, сумма ряда равна нулю. Построим амплитудно-частотный спектр

Задача 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2] (получить первые 4 гармоники разложения).

Решение.  По условию функция – четная, задана на отрезке [0; 2] = [0; l], следовательно, ее график на промежутке [–2; 0] симметричен заданному графику относительно оси ординат и период функции T = 2l =4 (длина промежутка [–2; 2]).

Ряд Фурье для четной периодической функции  с периодом 2l  имеет вид:

,         (1)

 где , .                                          (2)

Поскольку вид функции ) неизвестен, для вычисления интегралов используем одну из квадратурных формул – формулу средних прямоугольников:

,

где  – середина k-го отрезка разбиения промежутка интегрирования [a; b], k = 1, 2, …, m, h – длина шага разбиения промежутка интегрирования: .

       Возьмем m = 10, , т.е. разобъем отрезок [0; 2] на 10 равных частей точками  и считаем с графика значения функции в серединах полученных отрезков. Чтобы вычислить коэффициенты a₀, a₁, a₂, a₄ для первых 4 гармоник разложения функции в ряд Фурье по формулам (2), построим таблицу значений функции f(x) и  в полученных точках:

k	xk -1/2	f(xk -1/2)
1	0,1	0,9	0,89	0,86	0,80
2	0,3	0,25	0,22	0,15	0,04
3	0,5	– 0,25	– 0,18	0	0,18
4	0,7	– 0,4	– 0,18	0,24	0,40
5	0,9	– 0,2	– 0,03	0,19	0,09
6	1,1	0,2	– 0,03	– 0,19	0,09
7	1,3	0,6	– 0,27	– 0,35	0,59
8	1,5	0,85	– 0,60	0	0,60
9	1,7	0,9	– 0,80	0,53	– 0,14
10	1,9	1	– 0,99	0,95	– 0,89
		3,85	– 1,97	2,38	1,76

Вычислим коэффициенты ряда a₀, a₁, a₂, a₄.

;

 

Подставляем найденные коэффициенты в формулу (1) и получаем аппроксимацию функции частичной суммой ряда  s₃(x):

 

Для сравнения с функцией  f(x) построим на промежутке [0; 2] график заданной функции f(x) и график полученной аппроксимации :

 

Если в аппроксимацию s_n(x) включить сумму большего числа гармоник, например, 5, то графики  s₅(x) и функции f(x) практически совпадают:

 

Ответ : , .

 

Варианты контрольной работы по теме «Ряды Фурье»

Задача 1.

Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье следующие функции, периодические с периодом , определить сумму в точках разрыва. Построить график частичной суммы Фурье для n=4.

№	Функция	№	Функция
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

 

Задача 2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную формулой на отрезке , сначала по синусам, затем по косинусам. Построить график и частичных сумм для n=4.

№	Функция	№	Функция
1	f(x)=2x-1	6	f(x)=x-4
2	f(x)=x2-1	7	f(x)=x2+2
3	f(x)=-x-1	8	f(x)=-x-3
4	f(x)=x2+1	9	f(x)=x2-3
5	f(x)=3x-2	10	f(x)=0.5x-1

 

Задача3.  Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , с периодом  Т=2l. Построить график частичной суммы при n=5.

 

№	Функция	T	№	Функция	T
1	f(x)=x+4	2	6	f(x)=2x+1	3
2	f(x)=-x+4	4	7	f(x)=2x-1	5
3	f(x)=2x+4	6	8	f(x)=3x+4	7
4	f(x)=x+1	2	9	f(x)=3x-2	3
5	f(x)=-x+2	4	10	f(x)=-3x-1	1

Задача4 Разложить в ряд Фурье функцию . Построить график частичной суммы S₄(x).

№	Функция	№	Функция
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задача 5 . Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: , . Построить амплитудно-частотный спектр.

№	Функция	№	Функция
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задача 6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; l] (получить первые гармоники разложения).

 

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

1. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 1] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

2. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 2,5] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

4. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 3] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 4] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

 

 

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 5] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

8. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную  на промежутке [0; π] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

9. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x), графически заданную на промежутке [0; 1] (получить первые 4 гармоники разложения).

 

Рекомендуемая литература

 

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие.- 22-изд., перераб.- СПб., Изд-во «Профессия», 2005.-432с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: