Интервальное распределение выборки

Если число значений в выборке велико или признак имеет непрерывную природу, то строится интервальный вариационный ряд. Для этого диапозон варьирования признака разбивают на несколько равных частей и указывают число вариант, попадающих в каждый частичный интервал (интервальная частота).

Алгоритм построения интервального вариационного ряда

1) Находим размах выборки (диапазон варьирования):

2) Определяем число k интервалов группировки, которое определяется условиями задачи исходя из требований исследователя или (если признак Х ГС имеет нормальное распределение) по формуле Стёрджеса:

                                  (4)

где n объем выборки. Число интервалов следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень маленьким, чтобы не потерять особенности распределения признака.

3) Определяем длину (шаг варьирования) частичного интервала . Если получаемое число – дробное, то в качестве длины интервала рассматривают ближайшее целое число или простую дробь (обыкновенную или десятичную).

4) Строим интервалы I_i=[y_i-1;y_i], где ,  или ,

5) Находим интервальные частоты, т.е. число вариант в ранжированном ряду, попавших в данный интервал. Число вариант, попавших в i-ый интервал, будем также обозначать .

При подсчёте частот в интервал включают варианты, большие или равные нижней границы и меньшие верхней границы интервала. Иногда поступают наоборот: включают варианты, большие нижней границы и меньшие или равные верхней границы интервала.

 

Интервальное распределение выборки

Таблица 4

Интервалы	[y0;y1)	[y1;y2)		[yk-1;yk]	𝛴
Частоты	n1	n2		nk	n
Частости	n1/n	n2/n		nk/n	1

 

 

Интервальные вариационные ряды графически можно представить с помощью гистограммы частот или относительных частот.

Гистограммой частот (относительных частот) называют столбчатую диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны

Из определения следует, что площадь гистограммы относительных частот равна единице, а площадь S_i каждого i-го прямоугольника равна w_i.

Гистограмма относительных частот даёт приближённое представление о виде кривой распределения ГС. По ее форме можно выдвинуть предположение о виде распределения ГС.

Соответственно, площадь гистограммы частот равна объему выборки n, а площадь S_i каждого i-го прямоугольника равна n_i.

Для интервального вариационного ряда построение кумуляты начинают с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ординату принимают равной нулю. Абсциссы следующих точек этой ломаной будут соответствовать концам интервалов, а ординаты – соответствующим накопленным частотам или частостям.

Для дальнейших вычислений интервальный ряд условно заменяют дискретным: в качестве варианты  такого ряда берутся серединные значения интервалов разбиения [y_i-1;y_i], а соответствующую интервальную частоту  принимают за частоту этой варианты.

Пример 2. Имеются данные о возрастном составе служащих фирмы (лет): 18; 38; 28; 29; 26; 38; 34; 22; 28; 30; 22; 23; 35; 33; 27; 24; 30; 32; 28; 25; 29; 26; 31; 24; 29; 27; 32; 25; 29; 29. Требуется построить интервальный вариационный ряд и изобразить его графически: построить гистограмму частот и частостей и кумулятивную кривую.

Р е ш е н и е. Ранжируем ряд - наблюдаемые значения признака расположим в неубывающем порядке: 18; 22; 22; 23; 24; 24; 25; 25; 26; 26; 27; 27; 28; 28; 28; 29; 29; 29; 29; 29; 30; 30 ;31; 32; 32; 33; 34; 35; 38; 38.

Объем выборки равен 30. По формуле Стёрджеса находим число интервалов группировки:  Размах выборки равен , то для удобства возьмем 7 интервалов с шагом .

Строим интервальный вариационный ряд: в первой строке – интервалы, а во второй и третьей интервальные частоты и частости. Кроме того, поместим в таблицу строки накопленных частот и частостей и абсолютной и относительной плотности частоты (  и ).

 

Таблица 5.

Интервалы								Cумма
частоты	1	3	6	10	5	3	2	30
частости	1/30	3/30	6/30	10/30	5/30	3/30	2/30	1
	1	4	10	20	25	28	30
	1/30	4/30	10/30	20/30	25/30	28/30	1
	1/3	3/3	6/3	10/3	5/3	3/3	2/3
	1/90	3/90	6/90	10/90	5/90	3/90	2/90

 

Строим гистограммы частот и относительных частот, используя две последние строки таблицы 5:

 

 

Для построения кумуляты, используем строку накопленных частостей (третья снизу).

 

Самостоятельная работа №2.

Задача 2.1. Построить гистограмму частот и относительных частот по заданному распределению выборки. Составить эмпирическую функцию распределения, построить ее график.

 

Интервал	2-7	7-12	12-17	17-22	22-27
Частота	5	10	25	6	4

Задача 2.2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма 200, гистограмма относительных частот которой имеет вид. Найти значение параметра а. Построить интервальный ряд распределения данной выборки с указанием частот и относительных частот.

 

Задача 2.3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма 150, гистограмма частот которой имеет вид. Найти значение параметра а. Построить интервальный ряд распределения данной выборки с указанием частот и относительных частот.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: