Интервальные оценки параметров генеральной совокупности

Оцениваемый параметр	Используемое распределение и таблица	Доверительный интервал	Квантили	График функции плотности (кривая распределения)
Математическое ожидание при известной генеральной дисперсии	Нормальный закон распределения Функция Лапласа
Математическое ожидание при неизвестной дисперсии	Распределение Стьюдента с  степенями свободы
Дисперсия при неизвестном математическом ожидании а	Распределение Пирсона (хи-квадрат) с  степенями свободы
Дисперсия при известном математическом ожидании а	Распределение Пирсона (хи-квадрат) с  степенями свободы
Среднее квадратическое отклонение Ϭ	Распределение Пирсона (хи-квадрат)

Расчетно аналитическая работа №2

Задание 1. В результате наблюдений некоторый признак (случайная величина) Х принял ряд значений. Требуется:

1) составить дискретный вариационный ряд с соответствующими частотами и относительными частотами;

2) построить полигон относительных частот;

3) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график, построить кумулятивную кривую;

4) вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочные дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;

5) найти несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности;

6) предполагая, что случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения, построить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения с заданной надежностью  и . Сделать вывод о зависимости ширины доверительного интервала от уровня надежности.

Данные для расчетов

 

№ в-та	Выборка
1	14 10 8 9 9 9 10 10 10 11 11 13 14 13 9 9 8 8 11 13 11 13 10 10
2	9 9 11 10 10 9 10 11 11 9 10 11 10 10 13 8 9 11 10 10 12 12 13 8 8
3	7 8 9 9 9 11 11 12 12 13 11 10 7 8 9 10 10 10 11 11 11 10 10 11 8
4	10 9 8 13 12 12 11 11 10 10 10 9 10 8 13 10 10 9 9 8 12 12 11 11 11 10
5	14 12 12 7 7 11 11 10 11 10 9 11 9 9 14 12 10 10 10 12 7 11 10 9 10
6	8 9 9 10 11 13 13 11 11 11 12 12 12 9 8 10 10 14 14 13 11 10 11 11 12
7	11 9 13 11 11 12 12 13 13 10 10 10 9 11 11 11 9 11 10 10 10 12 10 10
8	9 9 11 11 12 14 13 13 10 10 10 12 9 11 10 11 12 10 13 11 12 11 12 14
9	9 9 11 11 12 14 13 13 10 10 10 12 9 11 11 11 12 10 13 11 11 12 11 12 14
10	13 9 14 8 11 12 12 13 12 13 14 12 8 11 11 13 11 12 11 12 12 9 9 11 12
11	9 9 11 11 10 10 14 14 15 13 12 12 12 12 10 15 13 12 12 9 11 11 10 14 11
12	9 9 14 11 11 10 10 12 12 12 12 13 14 11 10 12 13 13 14 11 10 10 11 11 13
13	9 12 10 10 10 11 12 12 11 11 12 11 12 13 13 14 12 11 9 10 13 14
14	12 10 13 12 11 11 11 11 11 9 12 12 12 9 11 10 10 13 14 11 10 13
15	8 11 11 11 13 12 12 10 9 11 13 9 8 10 10 9 11 11 12 10
16	8 7 8 9 8 10 10 11 11 7 11 9 9 9 9 9 10 10 8 11 12 9 8 9 10 10 12 7
17	11 11 11 11 10 9 9 12 10 12 9 8 11 8 10 10 13 11 10 11
18	12 15 8 14 14 9 10 10 12 12 11 11 13 11 12 11 10 13 13 9 10 11 12 11
19	8 9 10 11 11 13 13 12 12 12 14 9 10 11 12 13 11 11 10 10 11 14

 

 

Задание 2.По данному распределению выборки найти:

a) построить гистограмму относительных частот и кумуляту;

b) найти несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения;

c) вычислить выборочные коэффициенты асимметрии, эксцесса и вариации;

d) найти моду и медиану.

 

Нахождение выборочных характеристик случайной величины провести с использованием условных переменных. Расчеты выполнять в Excel.

 

Данные для расчетов

 

Вариант 1.

 

Интервал	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Частота	2	4	8	12	16	10	3

 

Вариант 2.

 

Интервал	61-65	65-69	69-73	73-77	77-81	81-85	85-89
Частота	2	6	9	14	10	5	4

 

Вариант 3.

 

Интервал	73-77	77-81	81-85	85-89	89-93	93-97	97-101
Частота	2	4	8	6	5	3	2

 

Вариант 4.

 

Интервал	49-52	52-55	55-58	58-61	61-64	64-67	67-70
Частота	3	6	11	19	30	21	10

 

Вариант 5.

 

Интервал	28-30	30-32	32-34	34-36	36-38	38-40	40-42	42-44
Частота	8	15	15	12	15	20	10	5

 

Вариант 6.

 

Интервал	54-58	58-62	62-66	66-70	70-74	74-78	78-82
Частота	10	14	26	28	12	8	2

 

Вариант 7.

 

Интервал	11-31	31-51	51-71	71-91	91-111	111-131
Частота	7	10	14	18	11	6

 

Вариант 8.

 

Интервал	102-104	104-106	106-108	108-110	110-112	112-114
Частота	5	10	17	12	8	3

 

Вариант 9.

 

Интервал	11-31	31-51	51-71	71-91	91-111	111-131	131-151
Частота	6	8	14	19	13	7	3

 

Вариант 10.

 

Интервал	79-81	81-83	83-85	85-87	87-89	89-91	91-93
Частота	4	8	18	21	15	9	5

 

Вариант 11.

 

Интервал	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52	52-56
Частота	3	5	14	17	10	6

 

Вариант 12.

 

Интервал	20-22	22-24	24-26	26-28	28-30	30-32	32-34
Частота	3	5	9	12	15	7	4

 

Вариант 13.

 

Интервал	60-64	64-68	68-72	72-76	76-80	80-84	84-88
Частота	2	7	10	14	8	5	4

 

Вариант 14.

 

Интервал	53-57	57-61	61-65	65-69	69-73	73-77	77-81
Частота	2	3	7	10	8	6	4

 

Вариант 15.

 

Интервал	45-48	48-51	51-54	54-57	57-60	60-63	63-66
Частота	7	11	15	19	30	12	6

 

Вариант 16.

 

Интервал	48-50	50-52	52-54	54-56	56-58	58-60	60-62	62-64
Частота	5	11	16	24	18	15	7	4

 

Вариант 17.

 

Интервал	54-58	58-62	62-66	66-70	70-74	74-78	78-82
Частота	6	18	30	24	12	8	2

 

Вариант 18.

 

Интервал	11-31	31-51	51-71	71-91	91-111	111-131
Частота	5	7	16	12	8	2

 

Вариант 19.

 

Интервал	30-32	32-34	34-36	36-38	38-40	40-42	42-44
Частота	7	11	15	18	13	10	6

 

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы №2 по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

 

Задание №1. . В результате наблюдений некоторый признак (случайная величина) Х принял ряд значений: 12 9 11 11 9 14 13 13 10 10 10 12 9 11 11 11 12 10 13 11 11 12 11 12 14. Требуется:

1) составить дискретный вариационный ряд с соответствующими частотами и относительными частотами;

2) построить полигон относительных частот;

3) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график, построить кумулятивную кривую;

4) вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, выборочные дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;

5) найти несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности;

6) предполагая, что случайная величина Х подчиняется нормальному закону распределения, построить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения с заданной надежностью  и . Сделать вывод о зависимости ширины доверительного интервала от уровня надежности.

Р е ш е н и е. На основе данных сформируем вариационный ряд, для этого значения признака расположим в неубывающем порядке: 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12; 12; 12; 13; 13; 13; 14; 14.

1) Теперь зададим частотное распределение выборки. Так как требуется составить эмпирическую функцию распределения и построить графики, добавим в таблицу еще две строки:

 

xi	ni	wi	wнакi	xini	xi2ni
			0
9	3	0,12	0,12	27	243
10	4	0,16	0,28	40	400
11	8	0,32	0,60	88	968
12	5	0,2	0,80	60	720
13	3	0,12	0,92	39	507
14	2	0,08	1	28	392
Сумма	25	1		282	3230

 

 

2) Построим полигон относительных частот, используя третий столбец:

 

 

3) Составим эмпирическую функцию распределения, пользуясь формулой (3.1) и четвертым столбцом таблицы:

 

 

Построим кумуляту (голубой цвет) и график функции (черная ступенчатая фигура) F *(x), используя четвертый столбец таблицы.

 

4) Мода равна 11, так как это значение встречается наиболее часто (соответствующая ему частота - наибольшая - равна 8): М₀=11.

Так как число вариант нечетно (25), то медиана – значение признака, стоящее в середине вариационного ряда – х₁₃:

По формуле (5) находим выборочную среднюю, используем сумму элементов пятого и второго столбцов:

По формулам (9) и (10) находим выборочные дисперсию (суммы шестого и второго столбцов и вычисленное выборочное среднее) и СКО:

Коэффициентвариации по формуле (16):

5) Несмещенной точечной оценкой математического ожидания ГС является выборочное среднее, равное 11,28, а дисперсии – исправленная выборочная дисперсия, которую вычислим , используя формулу (17):

6) Так как генеральная дисперсия неизвестна, то доверительный интервал для неизвестного математического ожидания построим по формуле (21):

Пользуясь таблицей квантилей распределения Стьюдента при доверительной вероятности g, равной 0,95 и 0,99 и , находим:

Определяем точность оценки:

Окончательно, доверительные интервалы имеют вид:

Полученные результаты можно оформить таблицей:

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: