Нормального распределения

Пусть x₁, x₂, . . . , x _n выборка объема n из генеральной совокупности X, распределенной по нормальному закону с параметрами а и s².

Рассмотрим два варианта построения интервальных оценок для параметра а. Пусть γ – заданная доверительная вероятность.

 

1. Доверительный интервал для оценки неизвестной генеральной средней М(Х)=a при известной генеральной дисперсии  имеет вид:

                            (20)

где  - выборочное среднее; n – объем выборки;  - известное среднее квадратическое отклонение ГС;  Ф(z) –функция Лапласа.

Excel 2010: .

 

2. Доверительный интервал для оценки неизвестной генеральной средней М(Х) при неизвестной генеральной дисперсии имеет вид:

                              (21)

где  - выборочное среднее; n – объем выборки; S - исправленное СКО;  - квантиль уровня (1+g)/2 распределения Стьюдента с n -1 степенями свободы.

Excel 2010:

Excel 2007:

Точность оценки  называют классической:

1) чем больше n , тем меньше D и, следовательно, точность оценки увеличивается (длина интервала уменьшается);

2) чем больше , тем больше z_g и, следовательно, возрастает D: увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Минимальный объем выборки для оценки математическое ожидание с наперед заданной точностью D и надежностью , находят по формуле:

                                        (22)

 

Пример 6. Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а нормально распределенной генеральной совокупности с надежности , если дисперсия генеральной совокупности известна и равна 9, а выборочное среднее равно 5, при объеме выборки, равной 36.

Р е ш е н и е. Так как ГС распределена по нормальному закону и известна ее дисперсия, то воспользуемся формулой (20).

Из условия , по таблице значений функции Лапласа находим  и определяем точность оценки:

Окончательно, доверительный интервал имеет вид:

Пример 7. Каким должен быть объем выборки при обследовании остатков на расчетных счетах у клиентов банка, чтобы с вероятностью 0,762 ошибка репрезентативности не превышала 5 тыс. руб., если генеральное среднее квадратическое отклонение равно 120 тыс. руб.

Р е ш е н и е. Так как ГС распределена по нормальному закону и известна ее дисперсия, то по таблице значений функции Лапласа находим

Необходимый объем выборки определим теперь по формуле (22):

Пример 8. Случайная выборка за 15 дней показала, что средняя (годовая) доходность определенных акций равна 10,37% с исправленным стандартным отклонением  Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения, построить доверительный интервал для средней доходности этого вида акций с надежностью 0,95.

Р е ш е н и е. ГС распределена по нормальному закону, генеральная дисперсия неизвестна, то применим формулу (21).

Пользуясь таблицей квантилей распределения Стьюдента при  и , находим

Определяем точность оценки:  Окончательно, доверительный интервал с надежностью 0,95 имеет вид:

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: