Леонард Эйлер и выпучивание тонких стержней и пластин

 

Все, о чем мы говорили до сих пор, применимо лишь к относительно короткими толстым стержням и другим сжатым элементам. Мы видели, что при сжатииони обыкновенно разрушаются вследствие сдвига или образования локальныхскладок. Однако огромное количество сжатых конструкций содержит длинныеи тонкие элементы, которые выходят из строя совершенно по-другому. Длинныйстержень, тонкий лист металла или страница этой книги выпучиваются присжатии, теряя способность нести нагрузку. В этом легко убедиться с помощьюпростейшего эксперимента: возьмите лист бумаги и попытайтесь сжать егов продольном направлении. Такой вид потери несущей способности (с ним связаныважные технические и экономические последствия) называется потерей устойчивости.Впервые он был изучен Леонардом Эйлером (1707-1783), и потому нередко говорятоб устойчивости (или неустойчивости) по Эйлеру.

Эйлер имел немецко-швейцарское происхождение, в его семье были известныематематики. Он рано приобрел имя в той же области, и еще очень молодым былприглашен Екатериной II в Россию. Большую часть жизни он провел при дворе вПетербурге, лишь по временам, в моменты острой политической ситуации, находяпристанище у Фридриха II в Потсдаме. Жизнь при дворах просвещенных деспотов всередине XVIII в. была, должно быть, интересна и колоритна, однако вмноготомных сочинениях Эйлера мы не найдем каких-либо упоминаний об этом.Насколько я мог выяснить, ни одному из его биографов не удалось установить хотябы одного случая или происшествия в его жизни, которые могли бы удовлетворитьобычное человеческое любопытство[107]. Он просто в течение оченьмногих лет постоянно занимался математикой, описывая свои результаты в огромномколичестве научных статей, которые и после его смерти все еще публиковались втечение сорока лет.

Конечно, Эйлер совсем не собирался заниматься несущей способностью сжатогостержня как конструкционного элемента. Просто среди многих других своихматематических открытий он изобрел то, что теперь называется вариационнымисчислением, и он искал задачи, к которым можно было бы применить этот новыйматематический метод. Один из его друзей предложил попробовать этот метод дляопределения наименьшей высоты тонкого вертикального стержня, при которой этотстержень начнет выпучиваться под собственным весом. Такая формулировка этой неочень реальной задачи объясняется тем, что, как мы уже упоминали в гл. 2понятия напряжения и деформации возникли лишь в значительно более поздниевремена. Для ее решения нужно было применить вариационный метод. Еслипереложить полученный Эйлером результат на современный язык, то получится то,что сейчас называется формулой Эйлера для критической нагрузки потериустойчивости продольно сжатого стержня, а именно:P  =π² (EI  /L ² ), где P   - нагрузка, прикоторой выпучиваются стержень или панель; E   - модуль Юнга материала;I   - момент инерции поперечного сечения стержня или панели (гл. 10);L  - длина стержня. Естественно, все эти величины должны быть выражены в одной и той же системе единиц. (Удивительно, что так много важных расчетных формулимеют столь простой вид[108].)

Формула Эйлера применима к длинным и тонким колоннам и стержням всехвидов - как сплошным так и пустотелым, а что, быть может, и более важно- к тонким панелям и пластинам, которые встречаются в конструкциях самолетов,кораблей и автомобилей. Если мы построим график зависимости критическойнагрузки стержня или панели от длины, то получится нечто похожее на рис.142, на котором показаны два возможных механизма разрушения.

Короткие стержни разрушаются описанным выше путем с образованием бочкиили дроблением на мелкие куски. Когда отношение длины к толщине стержнядостигает величины 5-10, эта линия пересекает кривую, соответствующую эйлеровойформе потери устойчивости. Теперь более опасным становится выпучивание,и длинный стержень выходит из строя вследствие выпучивания. В действительностипереход от разрушения материала к потере устойчивости происходит не такрезко, существует некая переходная область, отмеченная на рис. 142 пунктиром.

 

 

Рис. 142. Зависимость предельного сжимающего напряжения от длины стержня.

Приведенная выше формула Эйлера относится к тому случаю, когда стерженьили панель имеют шарнирное закрепление и могут свободно поворачиваться(рис. 143). Обычно все, что препятствует концам стержня или панели поворачиватьсяприводит к увеличению критической нагрузки потери устойчивости. В крайнемслучае, когда оба конца стержня жестко заделаны, его критическая нагрузкаувеличивается в 4 раза. Очень часто, однако, для жесткой заделки необходимосущественное стеснение концов, а это приводит к увеличению веса, сложностии стоимости всей конструкции, поэтому она становится невыгодной.

 

 

Рис. 143. Различные условия эйлеровой формы потери устойчивости.а - оба конца шарнирно оперты;б - оба конца заделаны;в - один конец заделан, а второй шарнирнооперт и может перемещаться в горизонтальном направлении.

Далее, жесткая заделка концов передает любые монтажные несоосности самомустержню. При этом стержень может оказаться изогнутым еще до нагруженияи его предельная нагрузка упадет. Вот почему жесткая установка мачты, прикоторой она одновременно крепится и к палубному перекрытию, и к килю, сейчасуже вышла из употребления (рис. 144).

 

 

Рис. 144. Изогнутый до нагружения стержень (в данном случае мачта) теряетустойчивость при меньшей нагрузке.

Следует отметить, что в выписанную нами формулу Эйлера не входит пределпрочности материала. Нагрузка, при которой стержень или панель данной длинытеряет устойчивость, зависит только от момента инерции сечения I   имодуля Юнга (жесткости) материала. Длинный стержень не разрушается привыпучивании. Он только упруго изгибается таким образом, чтобы "выскользнуть"из-под нагрузки. Если при выпучивании не был достигнут "предел упругости"материала, то после снятия нагрузки стержень опять выпрямится, и, спружинив,как ни в чем не бывало примет свою прежнюю форму.

Это свойство часто может быть весьма полезным, поскольку, основываясьна нем, можно создавать "неразрушающиеся" конструкции. Ковры и ковровыедорожки не портятся именно по этой причине, и природа, конечно же, широкоиспользует этот принцип, особенно в отношении низкорослых растений, напримертравы, которую всегда довольно трудно вытоптать. Так, мы спокойно гуляемпо лужайке, не причиняя ей большого вреда. Именно гениальная комбинацияострых колючек с открытием д-ра Эйлера делает живую изгородь одновременнонеразрушаемой и труднопреодолимой для людей и скота. С другой стороны,для комаров и других насекомых, использующих в качестве оружия длинноеи тонкое жало, природа вынуждена была "изобрести" прямо-таки невообразимоеколичество самых разных конструкционных уловок, чтобы предотвратить потерюустойчивости этих тонких, жалящих нас стержней.

При жизни Эйлера его формула не могла найти сколько-нибудь значительногоиспользования в технике. Практически ее могли применить лишь при проектированиикорабельных мачт и других стоек. Однако корабельные мастера тех временуже справились с этой проблемой. В замечательных справочниках XVIII в.по кораблестроению, таких, как "Основы изготовления мачт, парусов и такелажа"Стила, содержатся подробные таблицы, где приведены размеры брусьев любоготипа, основанные на опыте, и сомнительно, чтобы эти рекомендации моглибыть существенно улучшены с помощью вычислений.

Серьезный интерес к явлению потери устойчивости возник лишь столетие спустя ибыл связан с возросшим использованием листовой стали. Стальные листы были,естественно, тоньше, чем каменная кладка и деревянные детали, к которым такпривыкли инженеры. В 1848 г. при постройке железнодорожного моста через проливМенай[109]расчеты на устойчивость впервые делались для серьезных практических целей. Этотмост явился совместным детищем трех выдающихся людей: Роберта Стефенсона(1802-1859), Итона Ходжинсона (1789-1861), математика и одного из первыхпрофессоров-инженеров, и Вильяма Фейрберна (1789-1874), пионераконструкционного использования листовой стали.

Подвесные мосты Стефенсона оказались неудачными из-за своей излишнейгибкости. К тому же адмиралтейство настаивало, и не без оснований, на тридцатиметровойвысоте пролета, чтобы под мостом могли проходить корабли. Удовлетворитьтребованиям как жесткости, так и высоты можно было лишь единственным путем- спроектировав мост балочного типа невиданной до этого длины. По рядусоображений наилучшим вариантом казалась балка в форме трубы, собраннаяиз листовой стали, внутри которой двигался бы поезд. Длина каждой секциидолжна была составлять около 140 м.

Вскоре стало очевидным, что труднее всего справиться с проблемой устойчивостистальных панелей, образующих верхнюю, сжатую сторону балки. Для простыхпанелей и стержней формула Эйлера является точной, но здесь речь шла омостовых балках достаточно сложной формы, для расчета которых в то времяне было еще соответствующей теории. Выход был только один - экспериментына моделях. Как и можно было ожидать, результаты оказались довольно путанымии ненадежными, причем до такой степени, что все три проектировщика перессорилисьмежду собой. Казалось, их партнерство распадется, так и не породив конструкциидействительно надежного моста. В конце концов порешили делать для мостаклетчатые коробчатые балки (рис. 145). Ко всеобщему облегчению, мост оказалсяудачным и служит по сей день.

 

 

Рис. 145. Балка в виде трубы коробчатого сечения (мост "Британия"[110]).

Со времен Стефенсона проделано огромное количество математических расчетовустойчивости тонких оболочек, но проектирование таких конструкций все ещесопровождается значительно большей, чем обычно, неопределенностью. Поэтомуразработка ответственных конструкций такого типа может обходиться достаточнодорого из-за возможных натурных испытаний в процессе проектирования и доводки.

 

Трубы, корабли и бамбук, или кое-что о локальной потере устойчивости

 

Согласно Эйлеру, нагрузка, при которой стержень теряет устойчивость,определяется величиной EI  /L ² ,и поэтому критические нагрузки длинных колонн на сжатие обычно очень иочень малы. Единственное, что можно здесь сделать, - это увеличивать EI  по возможности пропорционально L ² . Для большинстваматериалов модуль упругости Юнга Е практически постоянен, так что в действительностимы можем лишь увеличивать момент инерции поперечного сечения I  .Это значит, что колонны следует делать толще. Именно так и поступают прииспользовании каменной кладки, например в мощных колоннах дорических храмов.Но вес при этом получается чрезмерно большим, и если мы хотим сделать легкуюконструкцию, то должны каким-то образом развить поперечное сечение. Иногдаего делают в форме швеллера, а иногда придают коробчатую форму. Но, какправило, лучшим и наиболее эффективным оказывается стержень в виде трубы.

Трубы очень популярны не только среди инженеров - природа тоже повсеместноотдает предпочтение трубчатым стержням. Однако труба при сжатии может терятьустойчивость, и происходит это двумя путями. Один путь мы уже описали - этоэйлерова, или длинноволновая, форма выпучивания. Другой путь - коротковолноваяформа выпучивания, когда в каком-то месте на стенке трубы образуются вмятины ивыпучины. Если радиус трубы велик, а стенки тонки, труба может быть совершенноустойчива к длинноволновой форме выпучивания, но она выйдет из строя из-залокального сморщивания (рис. 146). Это легко продемонстрировать на примеретонкостенного мундштука папиросы. Именно этот эффект накладывает ограничения наиспользование простых труб и тонкостенных цилиндров присжатии[111].

Рис. 146. Локальная потеря устойчивости в тонкостенной трубе при осевомсжатии.

Обычный способ борьбы с потерей устойчивости такого типа состоит в подкреплениистенок конструкции с помощью таких элементов, как шпангоуты и стрингерыи т.п. Шпангоуты - это ребра жесткости, идущие по периметру сечения, аребра жесткости, идущие в продольном направлении, - это стрингеры. Жесткостькорпуса корабля чаще всего увеличивают с помощью шпангоутов и переборок,хотя с недавних пор большие танкеры строят по системе Ишервуда с использованиемпродольных стрингеров. Сложная оболочечная конструкция, подобная фюзеляжусамолета, обычно подкрепляется и стрингерами, и шпангоутами. Пустотелыестебли травы и бамбука, которые имеют тенденцию сплющиваться при изгибе,очень изящно подкреплены "узлами", или перегородками, размещенными черезопределенные интервалы по всей длине стебля (рис. 147 и 148).

 

 

Рис. 147. Два способаувеличения жесткости стеблей растений с целью предотвращения локальнойпотери устойчивости: а - продольные стрингеры; б - узлы, или перегородки, характерные для травы и бамбука.

 

 

Рис. 148. Подкрепленнаяконструкция корпуса судна, часто используемая в нефтяных танкерах.

 

⇐ Предыдущая27282930313233343536Следующая ⇒

Поделиться: