Основные методы интегрирования

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке этого промежутка xÎX выполняется равенство F’(x)=f(x). При этом первообразная функция для данной функции f(x) определена неоднозначно. Если F(x) – первообразная функции f(x), то выражение вида F(x)+C задает все возможные первообразные функции f(x).

Совокупность всех первообразных функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение. Т.о. , где F(x) – первообразная, C – произвольная постоянная.

Неопределенные интегралы обладают следующими свойствами:

1)	4)
2)	5)
3)	6)
7) Если , то

 

Неопределенные интегралы для основных элементарных функций обосновываются непосредственным дифференцированием и определяются следующим образом:

1) 2) , 3) 4) , 5) 6) 7)

8) , 9) , 10) , 11) , 12) 13)

 

Основные методы интегрирования

Метод замены переменной

Удачная замена переменной позволяет существенно упростить исходный интеграл. При этом замена переменной выполняется в подынтегральном выражении. Формула метода замены переменной определяется следующим образом:

.

Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции. Тогда по свойству дифференциала произведения  или . Проинтегрировав обе части последнего равенства с учетом свойств интегралов получим

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

Пусть R(u, v) – функция переменных u и v и некоторых постоянных, построенная с использованием четырех арифметических операций – сложения, вычитания, умножения и деления.

1) Интегралы вида  рационализируются заменой .

2) Интегралы вида  рационализируются заменой , где p – наименьшее общее кратное m и n.

3) Интегралы вида  рационализируются заменой .

Интегрирование тригонометрических функций

1) Интегралы вида  сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены переменной , . Тогда ,  и .

2) Интегралы вида , где m, n – целые неотрицательные числа.

а) Если m или n – нечетное, то интеграл берется с помощью замены переменной , ,  или , ,  соответственно.

б) Если и m и n четные, то для вычисления интеграла используются формулы двойного аргумента , , .

Определенный интеграл

Пусть на отрезке [a; b] задана функция y=f(x). Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков точками a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b. На каждом отрезке выберем точку ξ_iÎ[x_i–1; x_i] и обозначим Δx _i=x_i–x_i–1., i=1, 2, …, n. Тогда сумма вида  называется интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a; b]. С геометрической точки зрения каждое слагаемое интегральной суммы есть площадь прямоугольника, одна сторона которого есть длина отрезка [x_i–1; x_i], а вторая – значение функции y=f(x) в точке ξ_i, т.е. f(ξ_i). Для выбранного разбиения отрезка [a; b] обозначим максимальную длину отрезков Δx _i i=1, 2, …, n max Δx _i.

Пусть предел интегральной суммы  при стремлении max Δx _i к нулю существует, конечен и не зависит от выбора точек x₁, x₂, …, x_{n –1} и ξ₁, ξ₂, …, ξ_n. Тогда этот предел называют определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a; b] и обозначают . Числа a и b называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а нахождение  – интегрированием функции y=f(x) на отрезке [a; b ].

Иначе: пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], где a<b или b<a, и F(x) – некоторая ее первообразная, т.е. F’(x)=f(x) при x Î[a; b]. Тогда под определенным интегралом  от данной непрерывной функции y=f(x) на данном отрезке [a; b] понимают соответствующее приращение ее первообразной, т.е.

 – формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл обладает следующими свойствами.

1. При изменении последовательности интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла .

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций .

4. Для любой точки сÎ[a; b] определенный интеграл по отрезку [a; b] от функции y=f(x) равен сумме интегралов от этой функции по отрезкам [a; c] и [c; b] .

5. Если на отрезке [a; b] для двух интегрируемых функций f(x) и g(x) выполняется неравенство f(x) g(x), то такое же неравенство выполняется для определенных интегралов по этому отрезку от этих функций, т.е. .

Следствие Если на отрезке [a; b] выполняется неравенство m f(x) M, то для определенного интеграла от этой функции выполняется неравенство .

6. Теорема о среднем Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] (a<b), то на этом отрезке найдется такое значение ξÎ[a; b], что выполняется равенство .

Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле

Теорема Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α; β], φ(α)=a, φ(β)=b, и функция f(x) непрерывна в каждой точке x=φ(t), t Î[α; β]. Тогда справедливо равенство

.

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Теорема Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке Î[a; b], тогда выполняется равенство

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Объем тела вращения

Пусть требуется найти объем V_x тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной данной непрерывной линией y=f(x)≥0, отрезком [a; b] оси Ох и двумя вертикальными линиями x=a и x=b. Для его вычисления используется формула

.

Если криволинейная трапеция образована непрерывной линией х=g(у), отрезком [с; d] оси О y и двумя горизонтальными линиями у=с и у=d, то формула вычисления объема V_y тела вращения такой трапеции вокруг оси Oy принимает вид

.

Несобственные интегралы

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Рассмотрим интеграл  при tÎ[a; х] Ì[a; b], Если F(x) – первообразная функции y=f(x), то согласно формуле Ньютона-Лейбница F(x)=F(x)–F(a)= . Функция F(x) называется интегралом с переменным верхним пределом функции f(x). При этом F(a)=0.

Различают несобственные интегралы I рода – по неограниченным промежуткам, и интегралы II рода – от неограниченных функций.

К несобственным интегралам первого рода относят ,  и . Достаточно рассмотреть только , поскольку  и .

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом F(A)=  при A→∞. Если существует конечный предел функции F(A) при A→∞, то несобственный интеграл I рода  называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. При этом .

Несобственный интеграл II рода имеет вид , где функция f(x) имеет особую точку x=a, x=b или x=cÎ[a; b]., т.е. неограниченна в этой точке. Достаточно рассмотреть случай, когда особой точкой является x=b, поскольку, как и в случае с несобственным интегралом I рода, остальные два случая могут быть сведены к рассматриваемому. Введем интеграл F(e)= . Говорят, что несобственный интеграл II рода  с особой точкой x=b является сходящимся (сходится), если существует конечный предел F(e) при e→0, в противном случае интеграл расходится. При этом .

Необходимое и достаточное условия сходимости несобственных интегралов устанавливает критерий Коши.

Несобственный интеграл I рода  сходится тогда и только тогда, когда для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется число A₀>a, такое, что для любых двух чисел A,A'>A₀, будет выполняться неравенство .

Несобственный интеграл II рода  с особой точкой x=b сходится тогда и только тогда, когда для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется положительное число d>0, такое, что для любых двух чисел a<m'< m<b –e, будет выполняться неравенство .

Несобственный интеграл  (b – особая точка или +∞) называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл вида . Несобственный интеграл  называется условно сходящимся, если он сходится, а несобственный интеграл вида  расходится.

Справедлива теорема: если сходится интеграл , то сходится и интеграл . Обратное, вообще говоря, неверно.

Для исследования сходимости несобственных интегралов применяется общий признак сравнения. Пусть f(x) и g(x) – интегрируемые на множестве [a; A] функции, где А – действительное число. Если |f(x)| £|g(x)| при любых x ³a₁>a, то

1) из абсолютной сходимости несобственного интеграла  следует абсолютная сходимость несобственного интеграла ;

2) из абсолютной расходимости несобственного интеграла  следует абсолютная рассходимость несобственного интеграла .

Для исследования сходимости несобственных интегралов вида  применяют следующие признаки.

1 Признак Дирихле Пусть функция f(x) имеет ограниченную первообразную на промежутке [a; +∞), а функция g(x) непрерывна и дифференцируема на [a; +∞), монотонно убывает на этом множестве и имеет предел при x→∞, равный нулю, т.е. . Тогда несобственный интеграл  является сходящимся.

2 Признак Абеля Пусть несобственный интеграл  является сходящимся, а функция g(x) является непрерывной, дифференцируемой, ограниченной и монотонной на множестве [a; +∞). Тогда несобственный интеграл  является сходящимся.

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке этого промежутка xÎX выполняется равенство F’(x)=f(x). При этом первообразная функция для данной функции f(x) определена неоднозначно. Если F(x) – первообразная функции f(x), то выражение вида F(x)+C задает все возможные первообразные функции f(x).

Совокупность всех первообразных функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение. Т.о. , где F(x) – первообразная, C – произвольная постоянная.

Неопределенные интегралы обладают следующими свойствами:

1)	4)
2)	5)
3)	6)
7) Если , то

 

Неопределенные интегралы для основных элементарных функций обосновываются непосредственным дифференцированием и определяются следующим образом:

1) 2) , 3) 4) , 5) 6) 7)

8) , 9) , 10) , 11) , 12) 13)

 

Основные методы интегрирования

Метод замены переменной

Удачная замена переменной позволяет существенно упростить исходный интеграл. При этом замена переменной выполняется в подынтегральном выражении. Формула метода замены переменной определяется следующим образом:

.

123Следующая ⇒

Поделиться: