Метод интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей

Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции. Тогда по свойству дифференциала произведения  или . Проинтегрировав обе части последнего равенства с учетом свойств интегралов получим

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Интегрирование простейших рациональных дробей

Многочленом (полиномом) степени n называют выражение вида
P_n(x)=a₀×xⁿ+a₁×x^n–1+a₂×x^n–2+…+a_n–1×x+a_n. Рациональной дробью называют отношение двух многочленов. Правильной рациональной дробью называется такая рациональная дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

1) .

2) Интеграл  интегрируется с помощью выделения в знаменателе полного квадрата в случае, если знаменатель не имеет действительных корней.

Интеграл I₁ берется с помощью замены переменной, а интеграл I₂ является табличным.

3) Интеграл от правильной рациональной дроби , знаменатель которой допускает представление в виде , интегрируется с помощью метода неопределенных коэффициентов. При этом

, где коэффициенты в числителях – неизвестные действительные числа, подлежащие определению путем приведения дробей в правой части равенства к общему знаменателю, приведения подобных в числителе и приравнивания коэффициентов числителей при соответствующих степенях x в числителях правой и левой частей равенства.

Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

Пусть R(u, v) – функция переменных u и v и некоторых постоянных, построенная с использованием четырех арифметических операций – сложения, вычитания, умножения и деления.

1) Интегралы вида  рационализируются заменой .

2) Интегралы вида  рационализируются заменой , где p – наименьшее общее кратное m и n.

3) Интегралы вида  рационализируются заменой .

Интегрирование тригонометрических функций

1) Интегралы вида  сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены переменной , . Тогда ,  и .

2) Интегралы вида , где m, n – целые неотрицательные числа.

а) Если m или n – нечетное, то интеграл берется с помощью замены переменной , ,  или , ,  соответственно.

б) Если и m и n четные, то для вычисления интеграла используются формулы двойного аргумента , , .

Определенный интеграл

Пусть на отрезке [a; b] задана функция y=f(x). Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков точками a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b. На каждом отрезке выберем точку ξ_iÎ[x_i–1; x_i] и обозначим Δx _i=x_i–x_i–1., i=1, 2, …, n. Тогда сумма вида  называется интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a; b]. С геометрической точки зрения каждое слагаемое интегральной суммы есть площадь прямоугольника, одна сторона которого есть длина отрезка [x_i–1; x_i], а вторая – значение функции y=f(x) в точке ξ_i, т.е. f(ξ_i). Для выбранного разбиения отрезка [a; b] обозначим максимальную длину отрезков Δx _i i=1, 2, …, n max Δx _i.

Пусть предел интегральной суммы  при стремлении max Δx _i к нулю существует, конечен и не зависит от выбора точек x₁, x₂, …, x_{n –1} и ξ₁, ξ₂, …, ξ_n. Тогда этот предел называют определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a; b] и обозначают . Числа a и b называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а нахождение  – интегрированием функции y=f(x) на отрезке [a; b ].

Иначе: пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], где a<b или b<a, и F(x) – некоторая ее первообразная, т.е. F’(x)=f(x) при x Î[a; b]. Тогда под определенным интегралом  от данной непрерывной функции y=f(x) на данном отрезке [a; b] понимают соответствующее приращение ее первообразной, т.е.

 – формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл обладает следующими свойствами.

1. При изменении последовательности интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла .

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций .

4. Для любой точки сÎ[a; b] определенный интеграл по отрезку [a; b] от функции y=f(x) равен сумме интегралов от этой функции по отрезкам [a; c] и [c; b] .

5. Если на отрезке [a; b] для двух интегрируемых функций f(x) и g(x) выполняется неравенство f(x) g(x), то такое же неравенство выполняется для определенных интегралов по этому отрезку от этих функций, т.е. .

Следствие Если на отрезке [a; b] выполняется неравенство m f(x) M, то для определенного интеграла от этой функции выполняется неравенство .

6. Теорема о среднем Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] (a<b), то на этом отрезке найдется такое значение ξÎ[a; b], что выполняется равенство .

Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле

Теорема Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α; β], φ(α)=a, φ(β)=b, и функция f(x) непрерывна в каждой точке x=φ(t), t Î[α; β]. Тогда справедливо равенство

.

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Теорема Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке Î[a; b], тогда выполняется равенство

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: