Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных декартовых координатах

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что  численно равен площади фигуры (криволинейной трапеции), заключенной под графиком функции y=f(x) на отрезке [a; b], т.е.

В более общем случае предположим, что на отрезке [a; b] заданы две непрерывные функции y=f(x) и y=g(x) такие, что g(x)<f(x). Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми f(x) и g(x) на отрезке [a; b] определяется по формуле

.

Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная данной непрерывной линией y=f(x)≥0, отрезком [a; b] оси Ох и двумя вертикальными линиями x=a и x=b. Тогда абсцисса х_С и ордината у_С центра тяжести такой фигуры определяется формулами

; .

3 Вычисление площади сектора в полярных координатах

Пусть требуется найти площадь сектора, ограниченного данной непрерывной кривой ρ=f(φ) и двумя лучами φ=α и φ=β, где φ и ρ – полярные координаты. Формула вычисления имеет вид

.

Длина дуги в прямоугольных декартовых координатах

Длиной дуги AB называется предел, к которому стремится длина ломаной, вписанной в эту дугу при неограниченном возрастании числа звеньев этой ломаной и стремлении длины наибольшего из звеньев к нулю.

Кривую называют гладкой на отрезке [a; b], если она непрерывна вместе со своей первой производной на этом отрезке. Справедлива теорема: Всякая гладкая кривая y=f(x) имеет определенную конечную длину на отрезке [a; b], равную

.

Координаты центра тяжести плоской кривой

Пусть y=f(x) – однородная материальная кривая линия с постоянной линейной плотностью γ=const. Тогда абсцисса х_С и ордината у_С центра тяжести этой кривой определяются как  и

Длина дуги в полярных координатах

Пусть φ – угол в полярных координатах, ρ – длина в полярных координатах, ρ=f(φ) – заданная функция, ρ’=f’(φ) – ее производная. Тогда длина l дуги непрерывной дифференцируемой кривой ρ=f(φ), заключенной между точками A(α; f(α)) и B(β; f(β)) определяется по формуле

.

Объем тела вращения

Пусть требуется найти объем V_x тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной данной непрерывной линией y=f(x)≥0, отрезком [a; b] оси Ох и двумя вертикальными линиями x=a и x=b. Для его вычисления используется формула

.

Если криволинейная трапеция образована непрерывной линией х=g(у), отрезком [с; d] оси О y и двумя горизонтальными линиями у=с и у=d, то формула вычисления объема V_y тела вращения такой трапеции вокруг оси Oy принимает вид

.

Несобственные интегралы

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Рассмотрим интеграл  при tÎ[a; х] Ì[a; b], Если F(x) – первообразная функции y=f(x), то согласно формуле Ньютона-Лейбница F(x)=F(x)–F(a)= . Функция F(x) называется интегралом с переменным верхним пределом функции f(x). При этом F(a)=0.

Различают несобственные интегралы I рода – по неограниченным промежуткам, и интегралы II рода – от неограниченных функций.

К несобственным интегралам первого рода относят ,  и . Достаточно рассмотреть только , поскольку  и .

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом F(A)=  при A→∞. Если существует конечный предел функции F(A) при A→∞, то несобственный интеграл I рода  называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. При этом .

Несобственный интеграл II рода имеет вид , где функция f(x) имеет особую точку x=a, x=b или x=cÎ[a; b]., т.е. неограниченна в этой точке. Достаточно рассмотреть случай, когда особой точкой является x=b, поскольку, как и в случае с несобственным интегралом I рода, остальные два случая могут быть сведены к рассматриваемому. Введем интеграл F(e)= . Говорят, что несобственный интеграл II рода  с особой точкой x=b является сходящимся (сходится), если существует конечный предел F(e) при e→0, в противном случае интеграл расходится. При этом .

Необходимое и достаточное условия сходимости несобственных интегралов устанавливает критерий Коши.

Несобственный интеграл I рода  сходится тогда и только тогда, когда для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется число A₀>a, такое, что для любых двух чисел A,A'>A₀, будет выполняться неравенство .

Несобственный интеграл II рода  с особой точкой x=b сходится тогда и только тогда, когда для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется положительное число d>0, такое, что для любых двух чисел a<m'< m<b –e, будет выполняться неравенство .

Несобственный интеграл  (b – особая точка или +∞) называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл вида . Несобственный интеграл  называется условно сходящимся, если он сходится, а несобственный интеграл вида  расходится.

Справедлива теорема: если сходится интеграл , то сходится и интеграл . Обратное, вообще говоря, неверно.

Для исследования сходимости несобственных интегралов применяется общий признак сравнения. Пусть f(x) и g(x) – интегрируемые на множестве [a; A] функции, где А – действительное число. Если |f(x)| £|g(x)| при любых x ³a₁>a, то

1) из абсолютной сходимости несобственного интеграла  следует абсолютная сходимость несобственного интеграла ;

2) из абсолютной расходимости несобственного интеграла  следует абсолютная рассходимость несобственного интеграла .

Для исследования сходимости несобственных интегралов вида  применяют следующие признаки.

1 Признак Дирихле Пусть функция f(x) имеет ограниченную первообразную на промежутке [a; +∞), а функция g(x) непрерывна и дифференцируема на [a; +∞), монотонно убывает на этом множестве и имеет предел при x→∞, равный нулю, т.е. . Тогда несобственный интеграл  является сходящимся.

2 Признак Абеля Пусть несобственный интеграл  является сходящимся, а функция g(x) является непрерывной, дифференцируемой, ограниченной и монотонной на множестве [a; +∞). Тогда несобственный интеграл  является сходящимся.

⇐ Предыдущая123

Поделиться: