Степень статической неопределимости системы

Разность между числом неизвестных реакций связей (n) и числом независимых уравнений статики (k), которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, называется степенью статической неопределимости  (S). Например,  для балки,  показанной на рис. 1.5,а, получим

 

S = 4 - 3 = 1,

где n = 4 – число реакций в шарнирных опорах,

k = 3 – количество уравнений равновесия статики.

ЗАДАЧА 1.1. Для рамы с жестко закрепленным одним концом и загруженной, как показано на рис. 1.6,a, построить эпюру изги-бающих моментов и найти угол поворота узла С.

 

Решение

Опора А рамы является заделкой (защемлением). В ней возникают три реакции – опорный момент, вертикальная и гори-зонтальные реакции. Имеются три уравнения статики,  поэтому данная рама статически определимая.  В подобных рамах можно не определять значения опорных реакций, если построение эпюры изгибающих моментов вести от свободного конца рамы (т. Е). На рис. 1.6,б  показаны места рассечения участков рамы определяемыми поперечными сечениями с координатами z₁, z₂, z₃ и z₄.

 

Участок ЕD ( 0 ≤ z ₁ ≤ l ).

В соответствии с методом сечений отсекаем сечением на рассто-янии z ₁ от свободного конца рамы (т. Е) часть рамы, которую показываем отдельно (рис. 1.6,в). В сделанном поперечном сечении могут действовать внутренние силовые факторы: N_z  -нормальная сила; Q _у –поперечная сила; М_х –изгибающий момент.

 

Рис. 1.6

 

По условию задачи требуется определить только М_Х. Его значения найдем из условия равновесия отсеченной части , где к – центр тяжести текущего поперечного сечения стержня рамы:

Определяем значения МХ  в крайних поперечных сечениях (точках) участка: т. Е z1 = 0, MX = 0; т. D z1 = l, MX = ql2.

 

Участок CD ( 0 ≤ z ₂  ≤ l ).

Отсеченная часть рамы показана на рис. 1.6.г. Из соображений упрощения рисунков здесь и далее при показе отсеченных частей рамы будем опускать изображения в текущем поперечном сечении N_Z , Q_Y  и M_X.  Также для упрощения расчетов будем переносить на-грузки, приложенные на ранее рассмотренном участке (участке ED), в начало следующего участка рамы (узел D). Так, распределенную нагрузку интенсивностью 2 q  приводим к узлу D в виде сосредоточенной силы 2 ql (рис. 1.6.д) и пары ql ². Вертикальную силу ql, приложенную в крайнем сечении Е переносим вдоль линии действия (по вертикали)    к узлу D.

 

Рассматривая отсеченную часть, изображенную на рис. 1.6,д, мо-жем записать:

M_x = ql ² + ql · z _2.

 Значения М_Х в крайних поперечных сечениях (точках) участка DC:

т. D z ₂ = 0, M_X = ql ²;    т. С z ₂ = l , M_x = 2 ql ² .

Переносим силы, действующие на участок ED, в точку D. В сечении D участка CD будут действовать, взамен распределенной нагрузки 2 ql , момент ql ² и сила 2 ql, а также сила ql, перенесенная из точки Е.

 

Участок ВС ( 0 ≤ z ₃ ≤ l ):

Отсеченная часть рамы дана на рис. 1.6,е, а ее эквивалентный вид с приведенными нагрузками в начальном сечении С показан на рис. 1.6,ж. Выражение для изгибающего момента в текущем поперечном сечении с координатой z ₃  имеет вид:

Значения М_Х  в крайних сечениях участка:

 

т. C z ₃ = 0; M_X = 0; т. В z ₃ = l ; M_X = 2 ql ²

 

 

Участок ВА ( 0 ≤ z ₄ ≤ l ):

Поступая аналогичным образом, как и для вышерассмотренных трех участков, изобразим отсеченную часть участка с эквивалентными нагрузками в начальном сечении В (рис. 1.6,з) и запишем выражение для изгибающего момента в текущем сечении с координатой z ₄.

 

MX = 2ql2 +2ql·z4 - 2ql·z4; Значения МХ в крайних сечениях участка:  т. B z 4 = 0; MX = 2 ql 2 ;  т. А z 4 = l ; MX = 2 ql 2 .

По результатам вычислений строим эпюру изгибающих моментов (рис. 1.7,а). За нулевые линии принимаются продольные оси стержней, а значения ординат М_Х  откладываем на сжатых волокнах стержней без указания знака.

Для проверки построенной эпюры вырезаем узлы D и С рамы (рис. 1.7,б, в). В поперечных сечениях стержней, соединяемых в узлы, показываем действующие изгибающие моменты, значения которых снимаем с эпюры М_Х (см. рис. 1.7,а) Кроме того в узле С следует изобразить внешний момент 2 ql ². Далее составляем уравнения равновесия узлов:

 

=ql ² – ql ² = 0; = 2 ql ² – 2 ql ² = 0.

Равенство сумм моментов нулям показывает, что узлы находятся в равновесии.

 

  

Рис. 1.7

 

По формуле Мора с использованием правила Верещагина вычислим угол поворота угла С.

Снимаем с рамы все нагрузки и в точке С прикладываем момент  (рис. 1.7,г). Строим от него эпюру (Эп. ). Перемножаем эпюры М_Х и . Участков перемножения два: АВ и ВС.

Показываем центры тяжести простейших площадей  и  эпюры М_Х на участках АВ и ВС перемножения эпюр, а на эпюре   соответствующие моменты  и .

Угол поворота узла С равен:

 =

= .

 

Знак плюс в ответе означает, что узел С поворачивается в на-правлении момента = 1, т.е. против часовой стрелки.

  

ЗАДАЧА  1.2.  Для показанной на рис. 1.8 рамы построить эпюры изгибающих моментов М_Х и поперечных сил Q_Y, а также  найти угол поворота поперечного сечения А, связанного с   шарнирно- неподвижной опорой.

Рис. 1.8

 

Решение

Обозначим границы участков нагружения рамы буквами C, D, E и покажем реакции X_A, Y_A, Y_B,  возникающие в опорах А и В соответственно (рис. 1.9,а).

Значения опорных реакций найдем из уравнений равновесия рамы в целом в системе координат хоу (см. рис. 1.9,а):

; - Х _A + F = 0 ; => Х _A = F ;

А = 0; - F ·2 l + Y_B · l + F · l = 0; => Y_B = F ;

В = 0;  - Y_A · l - F ·2 l + F · l = 0; = > Y_A = - F .

 

Рис. 1.9

 

Проверка вертикальных реакций:

 

∑пр.у = Y_A + Y_B = - F + F = 0.

Знак минус в значении реакции Y_A означает, что она действует в противоположном направлении к принятому ранее.

Определяем выражения для изгибающих моментов М_Х и поперечных сил Q_Y  на участках (стержнях) рамы.

 

Участок ЕС (рис. 1.9,г,   0 ≤ Z ₁ ≤ l ):

 

Участок АС (рис. 1.9,д,  0 ≤ z ₂  ≤ l ):

 

Участок BD (рис. 1.9,е,  0 ≤ z ₃ ≤ l ):

MX = F·l;   QY = 0.

Участок CD (рис. 1.9, ж,  0 ≤ z ₄ ≤ l ):

 

Переносим момент М = Fl и силу Y_B, приложенные в сечении В ранее рассмотренного участка ВD, в начальное сечение участка CD – сечение (узел) D.

 

По результатам вычислений строим эпюры изгибающих моментов М_Х  и поперечных сил Q_Y   (рис. 1.10,а, б).

Эпюры строим на нулевых линиях, за которые принимаем оси стержней рамы. Значения эпюры Q_Y  откладываем с любой стороны от  нулевых линий с указанием знаков (см. рис. 1.10,б), а значение эпюры М_Х со стороны сжатых волокон без указания знаков (см. рис. 1.10,а).

Рис. 1.10

 

Находим угол поворота сечения А методом Мора. Снимаем все нагрузки, действующие на раму. Прикладываем в т. А момент =1.  Находим реакции опор и строим эпюру  (рис. 1.10,в).

 

 А = 0; · l – 1 = 0; => .

 B = 0; ·l – 1 = 0; => .

Угол поворота поперечного сечения А:

 = =

= .

 

Сечение А поворачивается в направлении действия момента =1, т.е. по часовой стрелке.

 

 ЗАДАЧА 1.3. Для показанной на рис. 1.11,а рамы, загружен-ной силой F   и моментом М= Fl ,  определить горизонтальное пере-мещение   f _гор   узла С.

Рис. 1.11

 

Показываем реакции в опорах (рис. 1.11,б). В опоре В действует одна вертикальная реакция Y_B, а на опоре А -вертикальная Y_A и горизонтальная Х_А реакции. Таким образом, в   опорах рамы возникают три реакции, для определения которых имеются три уравнения статики. Поэтому рама статически определима.

Определяем реакции опор в системе координат хоу (см. рис. 1.11,б):.

 х = 0; - Х _A + F = 0; => Х _A = F;

 A = 0; - F·2l + Y_B·l + Fl = 0; => Y_B = F;

 B = 0; Fl + Y_A·l - X_A·2l = 0; => Y_A = F.

Проверка реакций ∑пр. у = 0; Y_A – Y_B = 0; 0 = 0.

Разбиваем раму на участки нагружения – стержни AD, CD и СВ. Используя метод сечений, составим выражения для М_Х, начиная со стержня  АD.

 

Участок АD (рис. 1.11,в,  0 ≤ Z ₁ ≤ l ).

F

 

Участок ВС ( рис. 1.11,г 0 ≤ Z₂ ≤ l):

            

Участок CD (рис. 1.11,д  0 ≤ Z ₃ ≤ l ):

 

 

 По полученным выражениям и значениям М_Х   строим эпюру (рис. 1.12,а). Вычисляем перемещение f _гор узла С методом Мора.

Рис. 1.12

Прикладываем в точке С силу =1 в направлении искомого перемещения (рис. 1.12, б).

Находим реакции опор от этой силы.

 

 х = 0;  - 1 = 0; => ;

 A = 0;   - ·l + 1·l = 0; =>  = 1;

 B = 0; - ·l + ·2l - ·l = 0; =>  = 1.

Проверка реакций: ∑пр. у= 0;  0.

Аналогично изложенному выше строим эпюру изгибающих моментов   (см. рис. 1.12,б).

Из вида эпюр следует, что надо их перемножать на двух участках CD и DA. Искомое перемещение равно:

=

= .

Перемещение получилось со знаком «плюс», следовательно, узел С переместился в направлении единичной силы = 1, т.е. влево.

 

Метод сил

Метод сил применяется для раскрытия статической неопреде-лимости систем. В этом методе неизвестными являются обобщенные силы – реакции внешних связей и внутренние усилия от внутренних связей. Процедура метода сил включает понятия основной и эквивалентных систем, составление и решение канонических уравнений.

Порядок раскрытия статической неопределимости систем методом сил. Порядок расчета состоит из следующих шагов:

1) определение степени статической неопределимости;

2) выбор основной системы (О.С.);

3) построение эквивалентной системы (Э.С.);

4) составление системы канонических уравнений;

5) вычисление единичных и грузовых коэффициентов системы канонических уравнений;

6) решение системы канонических уравнений;

7) построение эпюр внутренних силовых факторов для рассчи-тываемой системы;

8) проверка правильности раскрытия статической неопредели-мости.

Основная система

 

Рис. 1.13

 

Система, полученная из исходной системы путем снятия внешних нагрузок и освобождения от «лишних» связей, называется основной системой. Эта система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой. Для каждой статически неопределимой системы можно выбрать несколько вариантов основной системы. Например,  для статически неопределимой балки, показанной на рис. 1.5,а могут быть предложены три основные системы, представленные на рис. 1.13.  

 

 

Эквивалентная система

Рис. 1.14

 

Основная система с приложенными внешними нагрузками и реакциями «лишних» связей называется эквивалентной системой. Неизвестные реакции «лишних» связей обозначаются Х_1, Х₂ и т.д., где числовой индекс обозначает номер неизвестной.

Для балки (см. рис. 1.5,а), рассмотренной в предыдущих вопросах, соответственно выбранным основным системам (см. рис. 1.13) эквивалентные системы показаны на рис. 1.14.

 

Канонические уравнения метода сил В общем случае, при n > 1 (где n - количество «лишних» неизвестных) система канонических уравнений метода сил имеет вид:

Каждое уравнение этой системы выражает условие равенства нулю перемещения по направлению соответствующей удаленной связи. Направление удаленной связи (i) определяется по первому индексу коэффициентов δ_ij, ∆_iF. Число уравнений равно степени статической неопределимости (n) системы.

Коэффициенты системы канонических уравнений имеют следующие названия:

δ_ij - единичный коэффициент;

∆_ij – грузовой коэффициент.

Каждый из коэффициентов представляет собой перемещение конкретного сечения стержня в определенном направлении. Для их вычисления применяют метод Мора. При этом строят эпюры внутренних силовых факторов при поочередном нагружении основной системы единичными нагрузками (Х ´ _i =1) и заданными нагрузками (F ).

Каноническое уравнение метода сил для один раз статически неопределимой системы имеет вид:

 

δ₁₁Х₁+ ∆_1F=0.

 

Пример расчета статической неопределимости балки методом сил

Рассмотрим балку (рис. 1.15,а), для которой раскроем стати-ческую неопределимость и построим эпюры изгибающих моментов М_х и поперечных сил Q _y. Примем исходные данные:

F = 2кН; l = 1м; материал упругий; поперечное сечение постоянное по длине балки с жесткостью Е J_x .

Решение.

1. Определяем степень статической неопределимости S заданной системы

 

Рис. 1.15

 

S = n – k = 4 – 3 = 1,

где n – число реакций связей, n = 4;

k – количество уравнений равновесия статики, которые можем записать для данной системы,  k = 3. Таким образом, балка один раз статически неопределима.

2. Выбираем основную систему (О.С.) (рис. 1.15,б).

Для получения О.С. заданную систему освобождаем от нагрузки F  и одной связи – шарнирно-подвижной опоры В.

3. Строим эквивалентную систему (Э.С.).

Для этого О.С. нагружаем заданной нагрузкой F и неизвестной силой Х₁ в поперечном сечении В.

Эквивалентная система показана на рис. 1.15,в.

4. Составляем каноническое уравнение.

Для данной системы, один раз статически неопределимой, каноническое уравнение имеет вид:

 

δ₁₁Х₁+ ∆_1F=0.

 

Нагружаем О.С. поочередно силой Х ' ₁ =1 (рис. 1.15,г) и внешней нагрузкой F (рис. 1.15,е).

5. Строим единичную М₁ (рис. 1.15,д) и грузовую М _F (рис. 1.15,ж) эпюры.

6. Вычисляем единичный и грузовой коэффициенты канонического уравнения.

Перемножая эпюру М₁  саму на себя, получим:

 

.

 

Перемножая  эпюры  М _F    и  _,  найдем:

 

.

 

7.  Решаем каноническое уравнение:

 

8. Строим эпюры внутренних силовых факторов (Q _y и М_х).

Показываем расчетную схему (рис. 1.15,з), для которой строим эпюру поперечных сил Q_y (рис. 1.15,и) и эпюру изгибающих моментов  М_х (рис. 1.15,к).

9. Проверяем правильность раскрытия статической неопреде-лимости  (деформационная проверка).

Берем новую О.С., например, показанную на рис. 1.15,л. Прикладываем единичную нагрузку М ' =1 на месте снятой связи. Строим единичную эпюру  .

Перемножаем эпюры  М_х  и  М '' _х

 

,

где П – обозначение операции проверки.

Полученный результат – ноль означает, что угол поворота в сечении А равен нулю, т.е. построенная эпюра  М_х правильна.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: