Тема 2. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ.  НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ

Напряжение связано с точкой тела и ориентацией площадки, проходящей через точку.

Совокупность напряжений во всех площадках, проходящих через заданную точку, называется напряженным состоянием в точке. Если в окрестности точки вырезать из тела элементарный куб, то по его граням будут действовать нормальные и касательные напряжения. .

Рис. 2.1

На рис. 2.1 показаны напряжения на видимых гранях куба. Напряжения на гранях куба называют компонентами напряжений.

Напряженное состояние в точке задается тензором напряжений :

Тензор напряжений представляет собой матрицу, в которой записаны в определенном порядке компоненты напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках.

Тензор определяет напряженное состояние в точке, т.е. через напряжения на гранях куба можно определить напряжения на произвольной площадке, походящей через данную точку.

Главные напряжения и главные площадки

Если площадки, принятые за исходные для записи тензора Можно показать, что в любой точке напряженного тела всегда существуют три взаимно перпендикулярные площадки, в которых напряжений вращать, то компоненты  будут изменяться. отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными, а напряжения на них – главными напряжениями.

Главные напряжения обладают свойством экстремальности (по сравнению с нормальными напряжениями при других положениях площадок). Главные напряжения обозначают , ,   и нумеруют согласно неравенству (в алгебраическом смысле):

 ≥  ≥ .                                          (2.1)

Классификация напряженных состояний

По значениям главных напряжений напряженные состояния разделяют:

1) объемное (трехосное) – отличны от нуля все три главных напряжения;

2) плоское (двухосное) – одно из главных напряжений равно нулю;

3)  одноосное – два главных напряжения равны нулю.

Наиболее часто реализуются два последних типа напряженных состояний. Плоское имеет место в оболочечных конструкциях и брусе при сложном нагружении, одноосное – в брусе при растяжении (сжатии) или чистом изгибе.

Определение главных напряжений при плоском напряжен-ном состоянии

В случае плоского напряженного состояния одна из главных площадок с нулевым главным напряжением известна (рис. 2.2). Напряжения  и , действующие по двум другим главным площадкам, находятся из формулы:

 = .             (2.2)

Угол  находится из выражения:

 = - .                                    (2.3)

 

Рис. 2.2

 

После вычисления главных напряжений индексы напряжений присваиваются согласно неравенству (2.1).

Например, если = 100МПа, = -50МПа, то получим:

 = 100 МПа,  = 0,  = -50 МПа.

Объемная деформация

Наряду с линейной и угловой деформациями рассматривают и объемную е , т.е. относительное изменение объема в точке:

е = = .

Относительное изменение объема равно сумме линейных де-формаций по трем взаимно перпендикулярным осям.

С поворотом осей величина е не меняется.

Обобщенный закон Гука

Обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния записывается (в главных напряжениях):

 

 = ,

=

= .

Относительное изменение объема равно:

 

е = /Е.

Из этой формулы следует, что изменение объема не происходит (е = 0) в двух случаях:

если 1 - 2µ = 0, т.е. при µ = 0,5;

если .

При растяжении ; . Поэтому растяжение сопровождается увеличением объема е > 0.

При сжатии ,   получим е < 0. Следовательно, при сжатии стержня его объем уменьшается.

Чистый сдвиг ; . Таким образом имеем, что при чистом сдвиге объем тела не меняется.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: