Основные расчетные зависимости

Для каждого из опасных сечений необходимо произвести расчет на усталостную прочность, который состоит в проверке условия

 

n ≥ [n],                                                (4.8)

где  [n] –  минимально допустимый коэффициент запаса уста-лостной прочности, принимаемый в пределах 1,3…2,0 или по табл. П.8 (см. приложение);

n – эквивалентный (суммарный) запас усталостной прочности, соответствующий плоскому напряженному состоянию в опасной точке сечения (см. рис. 4.2,в), определяемый по формуле:

 

,                                              (4.9)

 

в которой      и  запасы прочности по нормальным и каса-тельным напряжениям соответственно, рассчитываемые по зависи-мостям:

 

;                               (4.10)

 

,                                   (4.11)

 

где ,  - пределы выносливости материала при симме-тричных циклах изменения нормальных и касательных напряжений;

 - соответственно амплитудные и средние значения напряжений;

-    коэффициенты чувствительности материала к асим-метрии цикла по нормальным и касательным напряжениям.

Кроме того , в формулы (4.10), (4.11) входят  и  - сум-марные коэффициенты снижения пределов выносливости детали, учитывающие влияние на сопротивление усталости конструктивных и технологических факторов и определяемые по формулам:

 

;                       (4.12)

 ;                        (4.13)

 

где     - коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении. Их значения зависят от вида концентратора и принимаются по табл. П.3, П.5, П.6 приложения;

 - коэффициенты влияния абсолютных размеров попе-речного сечения, выбираемые в зависимости от диаметра вала и ма-териала по табл. П.7 приложения;

К _F – коэффициент влияния шероховатости поверхности. Его зна-чения приведены на рис. П.1 приложения;

К _V – коэффициент влияния поверхностного упрочнения, опреде-ляемый по табл. П.9.

Отметим, что приведенные расчетные формулы (4.10) – (4.13) свидетельствуют о том, что расчет запасов усталостной прочности  и n  можно выполнить лишь зная конструкцию вала и техно-логию его изготовления.

 

 

Расчет коэффициентов запаса и оценка усталостной прочности

Для каждого из расчетных сечений вала по формулам (4.10), (4.11),  (4.9) рассчитывают коэффициенты запаса прочности  и

 n , затем проверяют условие (4.8) и делают необходи-мый вывод.

При недостаточной прочности вала дают рекомендации по ее повышению.

 

Пример решения вала с насаженными на него двумя шестернями

Рассмотрим расчет вала, схема которого показана на рис. 4.5,а, а конструкция – на рис. 4.5,б.

Рис. 4.5

 

Исходные данные:

F _{1 X} = 12,3 кН, F _{1 Y} = 4,47 кН – силы в зацеплении прямозубой шестерни 1 , соответственно окружная и радиальная;

F _{2 X} = 6,15 кН, F _{2 X} = 2,28 кН, F _{2 Z} = 1,08 кН –силы в зацеплении косозубой шестерни 2, соответственно окружная , радиальная и осевая;

l ₁ = 100 мм, l ₂ = 165 мм – линейные размеры;

R₁ = 100 мм, R₂ = 200 мм – радиусы начальных окружностей;

Сталь 45 – материал вала.

Вал вращается в подшипниках А и В и работает в области многоцикловой усталости (N₀ > 10⁷ циклов) в установившемся режиме.

Необходимо:

1) построить эпюры изгибающих моментов М_Х, М_У;

2)  построить эпюру суммарных изгибающих моментов М_И;

3)  построить эпюру крутящих моментов Т_К;

4)  построить эпюру эквивалентных изгибающих моментов М_ЭКВ, рассчитанных по гипотезе прочности максимальных касательных напряжений;

5)  подобрать диаметры вала из условия статической прочности;

6)  назначить геометрические размеры;

 7)  выполнить проверочный расчет вала на усталостную прочность.

 

 

4.4.1. Проектировочный расчет вала на статическую прочность (вопросы 1 - 5)  

Построение эпюр изгибающих моментов М_Х, М_У. Составим расчетную схему вала в виде двухопорной балки, представленной на рис. 4.6,а. После переноса на вал всех сил, действующих на шестерни, появляются два скручивающих момента в сечениях Д и С:

 

Т₁ = F _{1 X} ·R₁= 12,3·01 = 1,23 кНм;

 

Т₂ = F _{2 X}·R₂ = 6,15·0,2 = 1,23 кНм,

 

а также и изгибающий момент в сечении С

 

M = F _{2 Z}·R₂ = 1,08·0,2 = 0,216 кНм.

 

Опору А выбираем шарнирно – подвижной, а опору В - шарнирно – неподвижной. Из рис. 4.6,а следует, что вал работает на совместное действие сжатия, кручения и изгиба в вертикальной (Z0Y) и горизонтальной (Z0X) плоскостях. Влиянием сжатия и поперечных сил на нагруженность вала пренебрегаем. Кручение и изгиб рас-смотрим отдельно, используя принцип независимости действия сил.

Изгиб в вертикальной плоскости  Z0Y  (рис. 4.6,б).

Определим реакции опор Y_A и Y_B из уравнений равновесия:

∑M_B = 0; - F _{1 Y} ·0,43 + Y_A ·0,33 – F _{2 Y} · 0,165 + M = 0,

 

откуда  = 6.31 кН,

∑М_А = 0;   - Y_B ·0,33 + M – F _{2 Y} ·0,165 = 0,

 

откуда Y_B =  = 0,44 кН.

Проверка:∑Y =- F _{1 Y} + Y_A – F _{2 Y} + Y_B = - 4,47+ 6,31- 2,28 + 0,44 = 0.

 

Найдем изгибающие моменты М_Х в характерных сечениях вала (в сечениях А, С, D и В).

 

М_Х(А) = - F _{1 Y} ·0,1 = - 4,47 ·0,1 = - 0,447 кНм;

 

М_Х(С)_ЛЕВ = - F _{1 Y} · 0,265 +Y_A · 0,165= - 4,47 ·0,265 +

+ 6,31· 0,165  = - 0,143 кНм.

М_Х(С)_ПРАВ = Y_B · 0,165 = 0,44 · 0,165 = 0,073 кНм;

 

M_X(D) = M_X(B) = 0.

 

По полученным значениям строим эпюру М_Х (рис. 4.6, в).

 

Аналогично рассматриваем изгиб вала в горизонтальной плоско-сти Z0X (рис. 4.6,г).

 

 Определение суммарных изгибающих моментов М_И  и построе-ние их эпюры. Так как вал имеет круглое поперечное сечение, то изгибающие моменты М_Х и М_У можно свести к суммарному изги-бающему моменту М_И :

.

В сечениях А, С, D и В значения М_И будут соответственно равны:

 

 = 1,31 кНм;

 = 1,13 кНм;

= 1,122 кНм;

 

М_И(D) = М_И(В) = 0.

 

По полученным данным построим эпюру суммарных изгибаю-щих моментов М_И (рис. 4.6,е). На участке АС эпюра имеет нелиней-ный характер (пунктирная кривая выпуклостью вниз). Для упроще-ния вычислений эпюру на этом участке принимают линейной (спло-шная линия). При этом погрешность идет в сторону увеличения запаса прочности.

Построение эпюры крутящих моментов Т_К (рис. 4.6,ж). Два скручивающих момента Т₁ и Т₂ (см. рис. 4.6,а) вызывают кручение на участке АС крутящим моментом:

 

Т_К = Т₁ = Т₂ = 1,23 кНм.

Построение эпюры эквивалентных изгибающих моментов М_ЭКВ (рис. 4.6,з). Для бруса круглого поперечного сечения эквивалентные изгибающие моменты по теории прочности максимальных касатель-ных напряжений подсчитывают по следующей формуле:

 

.

 

Найдем значения М_ЭКВ в характерных сечениях вала:

 

 = 1,23 кНм;

 = 1,79 кНм;

 = 1,67 кНм;

= 1,122 кНм.

 

Участки эпюры, соответствующие интервалам вала DA и АС, нелинейны (пунктирные кривые с выпуклостью вниз). Как и в случае с эпюрой М_И, эти участки принимаем линейными (сплошные линии), а погрешность ведет к увеличению запаса прочности.

 

Подбор диаметров вала D ₁ и D ₂ (см. рис. 4.5,б) из условия стати-ческой прочности. Из эпюры М_ЭКВ видно, что наибольшие значения эквивалентного изгибающего момента соответствуют сечениям А и С. Минимально допустимое значение диаметра вала в сечении А:

 

 

Рис. 4.6

 = 0,0645 м.

 

Здесь [ ] – допускаемое напряжение для вала, которое принято равным 70 МПа (табл. П.1, см. приложение). При этом учитывалось, что изменение напряжений во вращающемся вале происходит по симметричному циклу, а материал – углеродистая сталь марки 45 ( =900 МПа, см. табл. П.2).

Аналогично найдем минимально допустимое значение диаметра вала в сечении С:

 

 = 0,0625 м.

 

 

Округлив полученное значение в миллиметрах D ₁ до ближайше-го большего числа, оканчивающегося на 0 или 5, получим D ₁  = 65 мм – диаметр сечений ступеней вала под подшипники.

Так как D ₂ < D ₁ , то диаметр сечения ступени вала под шестерню 2 в соответствии с рекомендацией (см. п. 4.2) принимаем равным

 

D₂ = D₁ + 5 = 65 + 5 = 70 мм.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: