Функциональный подход в поиске решений задач: решение задач, содержащих целую и дробную часть числа.

Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Целой частью действительного числа называется наибольшее целое число, не превосходящее , и это число обозначается через . Очевидно, что . Разность называется дробной частью числа и обозначается через . Из определения следует, что . Кроме того, справедливо равенство (87)

 

Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части действительного числа.

Для произвольных действительных чисел имеет место неравенство

Кроме того, для любого действительного числа справедливо

(88)

11. Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.

Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов, так называемых математических олимпиад. Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон.

Внешняя простота олимпиадных задач — их условия и решения должны быть понятны любому школьнику — обманчива. Лучшие олимпиадные задачи затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. Иногда этой кажущейся простотой пользовались не по назначению: во времена СССР на приёмных экзаменах в ВУЗы с помощью таких задач отсеивали абитуриентов нежелательных национальностей. Неудивительно, что олимпиадные задачи из арсенала таких приёмных комиссий стали называть «гробами».

Олимпиадные задачи можно найти в Интернете, в периодических изданиях (журналы Квант, Математическое просвещение), а также в виде отдельных сборников. Они широко используются в работе математических кружков, заочных школ и для таких математических соревнований как олимпиады, турниры городов и математические бои.

Большой вклад в популяризацию методов решения олимпиадных задач внесли публикации журнала «Квант», книги серий «Популярные лекции по математике», «Библиотека математического кружка» и другие книги, а также многочисленные веб-сайты, посвящённые олимпиадным задачам.

Виды задач

Несмотря на уникальность олимпиадных задач, можно всё-таки выделить несколько типичных идей, составляющих суть задач. Разумеется, по определению, такой список будет неполным.

· Задачи на инвариант

· Задачи - игры

· Задачи, решаемые с использованием принципа Дирихле.

· Комбинаторика

· Задачи на раскраски, укладки и замощения

· Диофантовые ур-ния

· Геометрические задачи. И т.д.

 

Методы решения

Не существует единого метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество методов постоянно пополняется. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях. Ниже приводится (по определению) неполный список методов решения олимпиадных задач:

· Доказательство от противного

· Принцип Дирихле

· Решение методами другой науки (замена алгебраической задачи геометрической или физической и наоборот)

· Правило крайнего

· Шахматы, Решение «с конца», выяснение стратегии (задачи-игры)

· Поиск инварианта

· Математическая индукция

· Метод итераций

· Подсчёт двумя способами

· Метод аналогий

· Провокационный метод

· Алгебраический и аналитический методы, на треугольники, на четырёхугольники, вписанные и описанные окружности около тр-ков и 4-ков, метод площадей, подобие треугольников, равенство углов(геометрия)

· Вспомогательная раскраска

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: