Понятие случайного события. Совместимые и несовместимые события. Равновозможные события.

Понятие случайного события. Совместимые и несовместимые события. Равновозможные события.

Случайное событие - всякий факт, который в опыте со случайными исходами может произойти или не произойти. Понятия называются совместимыми, если их объемы имеют хотя бы один общий элемент. Несовместимые – это понятия, в объемах которых нет ни одного общего элемента. Случайные события, которые имеют равные шансы, называют равновозможными.

Частота случайного события. Классическое определение вероятности.

Пусть «А» – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено «N» раз и при этом событие «А» наступило в «N_A» случаях. Тогда отношение µ= N_A / A называется частотой события «А» в данной серии испытаний.

Геометрическая вероятность.

Геометрическая вероятность события «A», являющегося подмножеством множества «Ω» точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры «A» к площади всего множества «Ω»: P ( A )= S ( A )/ S (Ω)

Упорядоченные выборки (размещения).

Размещение без повторений получается, если в группу не могут входить два или более элементов одного вида: А _n ^k = n !/( n - k )!

6. Разме­ щения с повторениями.

Размещение с повторениями. Если «n» кол-во различных видов элементов, кол-во элементов, которые входят в группу, тогда общее число таких групп будет «n^k».

7. Разме­щения с заданным количеством повторений каждого элемента.

Число всевозможных размещений с повторениями из n элементов по k равно:  (Неточный ответ!)

Перестановки.

Перестановки получаются, если в группе из n элементов эти элементы можно переставлять в различных порядках: P_n = n !

9. Неупорядо­ ченные выборки (сочетания).

Сочетание получается, если группы из k элементов отличаются только составом элементов, а не их порядком: C_n^k=n!/k!(n-k)!

10. Сочетания с по­вторениями.

Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз.

 

 

Противоположное событие; вероятность противоположного события.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Произведение событий.

Событие С называется произведением событий «А» и «В», если «С» происходит тогда, когда происходит и «А» и «В» одновременно: С=А*В=А∩В.

Сумма событий.

Суммы событий «А» и «В» называется событие, которое происходит тогда, когда происходит либо «А», либо «В», либо оба одновременно. (А+В).

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность наступления события А при условии, что произошло событие В наз-ся условной вероятностью и находится по формуле P(A/B)=P(A*B)/P(B). Теорема: P(AB)=P(A/B)*P(B).

15. Независимые события. Вероятность произведе­ ния независимых событий.

События А и В наз-ся независимыми, если условные вероятности совпадают соответствующими безусловными, т.е P(A)=P(A/B); P(B)=P(B/A). Вероятность произведения равно произведению вероятности. P(AB)=P(A)*P(B).

Формула полной вероятности.

Формула Байеса.

Формула Бернулли.

Локальная формула Лапласа.

 где

24. Инте­ гральная формула Лапласа.

P_n(m₁;m₂)=ϕ(x₂)-ϕ(x₁) где

Цепи Маркова.

Неограниченная последовательность опытов единственно возможными и попарно несовместимыми исходами А₁, А₂…,А_m называется цепью Маркова.

Вариационные ряды.

Вариационный ряд — упорядоченная по величине последовательность выборочных значений наблюдаемой случайной величины.

 равные между собой элементы выборки нумеруются в произвольном порядке; элементы вариационного ряда называются порядковыми (ранговыми) статистиками; число  = m / n называется рангом порядковой статистики

Вариационный ряд используется для построения эмпирической функции распределения. Если элементы вариационного ряда независимы и имеют общую плотность распределения f, то совместная плотность распределения элементов вариационного ряда имеет вид

Выборка.

Выборкой называется – случайный n – мерный вектор X=(X1,X2,…,Xn), а число n-её объёмом.

Генеральная совокупность.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

 

Доверительные интервалы.

Пусть, найденная по данным выборки, статистическая характеристика 0* служит оценкой неизвестного параметра 0.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки 0 по 0* называют вероятность λ, с которой осуществляется неравенство |0—0*|<δ

в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

 

Доверительную вероятность можно записать в виде:

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ:

Понятие непрерывной случайной величины (НСВ).

НСВ называется непрерывной, если её функция распределения F(X) является:

1. Непрерывной

2. Неотрицательной

3. Монотонно возрастающей

Пусть F(X) неотрицательная функция которая является интегрируемой и удовлетворяющей условиям:

, тогда

 – удовлетворяет всем условиям функции распределения.

 

 

Дисперсия НСВ.

D(x)=M( )-

Энтропия НСВ.

Энтропия – это мера степени неопределенности распределения НСВ

H(x)= -   

43. По­нятие равномерно распределённой НСВ.

Случайная величина X  с плотностью распределения

Называется равномерно распределенной случайной величиной.

Функция распределения F ( X ) случайной величины:

Мат. Ожидание:

Дисперсия:

Вероятность попадания НСВ в интервал от a до b :

P(a<x<b) = P(a≤x<b) = P(a<x≤b)= P(a≤x≤b)=

44. По­нятие экспоненциально распределённой НСВ.

Если плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид:

Функция распределения F(X):

Мат. Ожидание:

Дисперсия:

45. По­нятие нормально распределённой НСВ.

Если плотность распределения имеет вид: , то говорят что с.в. имеет нормальное распределение.

РЕ – произвольное число.

– параметры.

 – функция Лапласа.

Вероятность вычисляется по формуле:

46. По­нятие функционально распределённой НСВ.

Если случайная величина X имеет фукцию распределения: , то говорят что СВ Х имеет функциональное распределение.

Функция плотности распределения вероятностей НСВ:

Мат. Ожидание:

Дисперсия:

Энтропия: H(x)= -   

Лемма Чебышева.

Если СВ х, для которой существует математическое ожидание М(Х) и оно может принимать только неотрицательные значения для  имеет место неравенство P(x

Неравенство Чебышева.

Если Х СВ с М(Х) и D(X), то для Е>0 имеет место неравенство P(  

48. Закон больших чисел в форме Че­бышева.

Пусть Х1,Х2,…,Хn последовательность независимых СВ с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями ограниченными одной и той же const=С, тогда для любого  имеет место предельное равенство

Теорема Бернулли.

Пусть производится N независимых опытов в каждом из которых с вероятностью P может наступить некоторое событие А и путь Vn СВ равная числу наступлений события А в каждом из этих случаев. Тогда для  имеет место предельное равенство

Понятие случайного события. Совместимые и несовместимые события. Равновозможные события.

Случайное событие - всякий факт, который в опыте со случайными исходами может произойти или не произойти. Понятия называются совместимыми, если их объемы имеют хотя бы один общий элемент. Несовместимые – это понятия, в объемах которых нет ни одного общего элемента. Случайные события, которые имеют равные шансы, называют равновозможными.

123Следующая ⇒

Поделиться: