Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 6. При температурі  реакція

Задача 1. Ідеальний газ знаходиться в адіабатно ізольованому об’ємі під постійним зовнішнім тиском Р₀ . Безпосереднім розрахунком варіацій ентропії ,  показати, що при рівновазі ентропія такої системи виявляється максимальною.

Розв ’ язання. З основного рівняння термодинаміки для PV - систем (3.13) у разі ідеального газу можна записати

,                                     (1)

де - кількість молів газу.

У нашому випадку  з першого начала маємо

,                                   

що дозволяє зобразити (1) у вигляді

,                          (2)

де  тиск га зу. Отже, бачимо, що рівновага можлива лише при . Покажемо також, що в цьому разі ентропія максимальна.

Інтегруючи (1) при зміні температури від  до , а об’єму від  до , одержимо

.                         (3)

Розкладуючи (3) за степенями   і , матимемо

        

де

.                                         

Оскільки значення  виявляється від ’ ємним при будь-яких  і , ентропія цієї системи в стані рівноваги максимальна.

Задача 2. Як наслідок електронної емісії у порожнині всередині металу виникає електронний газ. Виходячи з мінімуму вільної енергії  при рівновазі визначити густину електронного газу  в цій порожнині, як функцію температури . Вважати, що ентропія електронного газу дорівнює ентропії одноатомного ідеального газу.

Розв’язання. При тепловій рівновазі кількість електронів, що випускається за одиницю часу, дорівнює їх кількості, що поглинається. Рівноважна густина електронів  визначається з загальної умови рівноваги , яка при сталих  і  дає конкретну умову

~ .                                  (1)

Розрахуємо вільну енергію  газу електронів. Внутрішня енергія  цього газу складається з середньої кінетичної енергії та суми робіт виходу  електрона з металу:

.                           (2)

Ентропію  беремо за формулою (3.27):

,                             (3)

де - ентропійна стала, яка розрахована методами статистичної фізики. Отже, маючи на увазі, що , , запишемо вільну енергію  у вигляді

.               (4)

З умови (1) остаточно знаходимо рівноважну густину електронного газу в порожнині

 ,                                   (5)

де  .

За допомогою (5) можна безпосередньо визначати силу струму насичення розжареного катода.

Задача 3. Показати, що  відповідну до детермінанта стійкості  матрицю можна звести до діагональної форми.

Розв ’ язання. Детермінант (8.16), враховуючи властивості якобіанів, можна записати як

 ,                          

що й вказує на діагональний вигляд відповідної матриці.

Задача 4. Довести вираз принципу Ле Шател ье-Брауна (8.18) безпосереднім розрахуванням на прикладі ідеального газу.

Розв ’ язання. Оскільки завжди , нерівність (8.18) можна записати у в игляді

                                   (1)

або через якобіани:

.                                    (2)

Ліву частину (2), користуючись властивістю якобіанів, перепишемо як

.                             (3)

Беручи до уваги результат задачі 1 розділу 3, праву частину (3) можна зобразити через відношення теплоємностей, тобто

.                                         

Оскільки для ідеального газу завжди  нерівність (8.18) можна вважати доведеною.

Задача 5. Визначити константу хімічної рівноваги  складної реакції

                                     

через константи  і  простих реакцій відповідно

,                                   

.                                         

Розв ’ язання. Згідно з законом діючих мас (8.24) константи , ,  можна записати через концентрації відповідних речовин:

,                                   (1)

,                                         (2)

.                                         (3)

З (1) – (3) знаходимо шуканий зв’язок:

.                                             

Задача 6. При температурі  реакція

                                             

досягла рівноваги. Відомі початкові кількості молів йоду та водню: моль, моль. Визначити кількість молів речовини  при рівновазі. Константа рівноваги  при  відома: .

Розв’язання. Нехай  моль водню з його кількості  моль реагує з тією ж кількістю молів йоду (з загального числа  моль) і при цьому утворюється  моль речовини . Згідно з законом діючих мас (8.24) рівноважні концентрації , ,  задовольнятимуть рівності

.                                       (1)

Підставляючи в (1) відповідні концентрації та дані умови, одержуємо квадратне рівняння відносно :

 ,                                  

звідки . Отже, рівноважна кількість молів речовини  дорівнює  моль.

Задача 7. Знайти число термодинамічних ступенів вільності системи, яка складається з розчину:

1)  і  у воді в присутності кристалів обох солей і пари;

2) цих солей у присутності льоду, кристалів обох солей і пари;

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: