Приклади характерних задач з розв’язанням. Розв ’ язання. Відповідно до (6.4) енергія Гіббса простої PV - системи має вигляд

Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск  і зовнішні параметри  крім об’єму , термодинамічним потенціалом буде енергія Гіббса, що визначена для простої - системи.

Розв ’ язання. Відповідно до (6.4) енергія Гіббса простої PV - системи має вигляд:

                                             (1)

З урахуванням (6.3) з (1) знаходимо:

                  (2)

Оскільки серед членів суми  правої частини (2) є доданок вигляду  (нехай з номером ), після очевидного скорочення отримуємо:

                                     

що й потрібно було довести.

 

Задача 2. Двокомпонентна система знаходиться в термостаті. Виразити хімічний потенціал  першого компонента через хімічний потенціал  другого для рівноважних ізобаричних процесів.

Розв ’ язання. Для вказаних умов через те, що  і , з рівняння Гіббса-Дюгема (6.28) маємо:

                                    (1)

Розділивши (1) на , отримаємо це співвідношення в термінах концентрацій :

                                    (2)

де .

     На підставі зв’язку  з (2) знайдемо:

                                        (3)

Розглядаючи  як функцію складу (тобто концентрації ), перепишемо (2) у вигляді

                                  (4)

Інтегруючи (4), остаточно отримаємо:

                             (5)

де хімічний потенціал чистого першого компонента при заданих  і .

 

Задача 3. Визначити клас функцій, що виражають залежність хімічного потенціалу від складу в системах з двох однотипних компонентів.

Розв’язання. Обмежуючись пошуком залежності хімічного потенціалу лише від складу, вважатимемо  Тоді для двокомпонентної системи з рівняння Гіббса-Дюгема (6.28) маємо (див. попередню задачу):

                                (1)

     У випадку однотипних компонентів з симетрії випливає однакова функціональна залежність  від  і  від . Отже, вважаючи , перепишемо (1) у вигляді

                                     

або, симетризуючи,

                              (2)

Співвідношення (2) можна розглядати як функціональне рівняння вигляду

                                      (3)

де

                                             (4)

     Очевидно, що розв’язком (3) є будь-яка функція , симетрична відносно значення аргументу . Загальним виглядом для такої буде

                                      (5)

де довільна функція.

     Отже, інтегруючи (4) з урахуванням зображення (5), знайдемо шуканий і найбільш загальний в умовах задачі вираз для хімічного потенціалу :

.                                 (6)

В остаточному розв’язку (6) необхідно, зрозуміло, обмежитися такими функціями , які визначені на проміжку  і для яких інтеграл (6) існує в традиційному для фізики рімановому сенсі.

 

Задача 4. Довести формулу (6.24).

Розв’язання. Скористаємося властивістю потенціалу Гіббса , відповідно до якої він є адитивною функцією кількостей  частинок змішаних речовин. Математично це означає, що  є однорідна функція першого степеня змінних . Звідси на підставі (1.14) можна записати:

                                  (1)

Диференціюючи рівність (1) за , знайдемо

 .                 (2)

Вважаючи в (2) , матимемо

                                  (3)

Використовуючи (6.16), остаточно отримаємо з (3) шукану рівність:

                                                      

 

Задача 5. Для системи, що складається з  частинок одного сорту, довести співвідношення

.                                         

Розв ’ язання. При незалежних змінних  згідно з (6.13) термодинамічним потенціалом є енергія Гельмгольца . Рівняння Гіббса-Гельмгольца (5.31), яке випливає з цього співвідношення, з урахуванням залучення змінної  можна переписати у вигляді

.                                  (1)

Диференціюючи (1) за  при постійних  знайдемо

                             

або, змінюючи порядок диференціювання в змішаній похідній,

                     (2)

Оскількі відповідно до (6.16): , з (2) отримуємо

,                                       

що й потрібно було довести.

 

Задача 6. Хімічний потенціал  однокомпонентного ідеального газу заданий у вигляді

,                                           

де деяка функція абсолютної температури, стала Больцмана. Отримати вираз для великого термодинамічного потенціалу .

Розв ’ язання. Відповідно до (6.17) і на підставі термічного рівняння стану ідеального газу можна записати

                                       (1)

Виражаючи з умови тиск  і порівнюючи з (1), знайдемо

                              (2)

Повертаючись до рівності (1), остаточно отримаємо

                                   

 

Задача 7. Показати, що хімічний потенціал  є однорідною функцією нульового степеня величин .

Розв ’ язання. На підставі теореми Ейлера (1.14) для випадку  в умовах задачі маємо:

.                                          (1)

Ліву частину (1) згідно з (6.16) можна записати у вигляді

                          (2)

З урахуванням результату задачі 4 цього розділу знаходимо

                         (3)

що й потрібно було довести.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: