Задача 7. Для простої PV - системи довести співвідношення

                                           

Розв’язання. Розглянемо ентальпію  як функцію незалежних змінних  і . Тоді

                                 (1)

Підставимо (1) в (5.24) і виразимо з отриманої рівності

                        (2)

Використовуючи для диференціальної форми (2) властивість повного диференціалу (див. задачу 1.5), запишемо

.                     (3)

Після розрахунків знаходимо з (3) шукану рівність:

.                                          

 

Задача 8. Показати, що з умов  і  випливає термічне рівняння стану ідеального газу.

Розв ’ язання. Умова задачі дозволяє записати співвідношення (3.19) і результат попередньої задачі у вигляді:

                                (1)

     Нехай стан простої системи визначається змінними  і . Тоді для диференціала температури як функції цих параметрів маємо:

                                (2)

Підставляючи в (2) похідні з (1), знаходимо

                                                 

звідки після інтегрування отримуємо термічне рівняння стану ідеального газу:

                                                  

 

Задача 9. Відомо, що гумовий джгут подовжується при охолодженні, якщо його натяг  залишається постійним, тобто , де довжина джгута. Довести, що джгут нагріється, якщо його адіабатично розтягти.

Розв’язання. Гумовий джгут є простою системою з зовнішнім параметром . Через те, що додатна елементарна робота (робота системи) відповідає стисненню джгута , необхідно вважати . Отже, узагальненою силою, що відповідає довжині , буде . В цьому випадку співвідношення Максвелла (5.15) при заміні  набере вигляду

.                                      (1)

     На підставі результату задачі 2 розділу 1 для трійок змінних  і  можна записати тотожності:

                              (2)

                              (3)

Перемножуючи (2) і (3), з урахуванням (1) отримаємо:

                      (4)

     Згідно з результатом задачі 1 розділу 3 (розширюючи його на випадок ) можна записати:

                                         (5)

Оскільки , з (5) маємо:

                                           (6)

Через те, що завжди , а за умовою , ліва частина рівності (4) з урахуванням (6) буде від’ємною лише при . Це і означає, що при адіабатному розтягненні гумовий джгут нагрівається.

 

Задача 10. Відомо, що при низькій температурі ентропія електронного газу в металах пропорційна температурі . Знайти температурну залежність різниці  цієї системи в даних умовах.

Розв ’ язання. Згідно з (3.21) маємо:

                              (1)

Співвідношення Максвелла (5.14) і (5.21) дозволяють переписати (1) у вигляді

                             (2)

Оскільки за умовою , похідні від ентропії за  і  при  повинні зберігати ту ж температурну залежність. Застосовуючи цей висновок до правої частини (2), знаходимо:

                                                   

 

Задача 11. Показати, що якобіан

                             

Дорівнює одиниці.

Розв ’ язання. Перепишемо рівність (5.4) у вигляді

                                 (1)

Використовуючи властивість (1.6) якобіанів, за умови  з (1) знаходимо:

                                                    

 

Задача 12. Показати, що для простої системи, тиск якої є однорідною функцією температури ( степеня ) , збільшення об’єму  завжди супроводжується зростанням ентропії .

Розв’язання. Відповідно до умови термічне рівняння стану  даної системи має властивість:

                        (1)

звідки

                    (2)

Використовуючи співвідношення Максвелла (5.14), рівність (2) можна записати як

                               (3)

Оскільки завжди  і за умовою , з (3) маємо:

                                                  

що й потрібно було довести.

 

Задача 13. Магнітна сприйнятливість  парамагнетика підлягає закону Кюрі: , а теплоємність при нульовій намагніченості  має вигляд:  Визначити теплоємність  при довільній постійній намагніченості.

Розв ’ язання. Будемо розглядати температуру  і зовнішній параметр  (див. задачу 8 розділу 2) як незалежні змінні. Отже, для вільної енергії , як термодинамічного потенціалу в цих змінних, і ентропії , як функції стану, маємо:

                                   (1)

Далі, згідно з умовою і на основі результатів задачі 1 розділу 3 запишемо:

                                     (2)

Інтегруючи (2), знаходимо:

                                         (3)

де константа інтегрування.

     Для  з другого співвідношення (5.11), і використовуючи (3), отримуємо:

                          (4)

де константа інтегрування. Крім того, згідно з (5.11), замінюючи  на  і  на , маємо:

                                            (5)

Інтегруючи (5) з урахуванням  і закону Кюрі, запишемо:

                          (6)

Підставляючи (4) в (6), знаходимо:

                            (7)

Отже, з (7) на підставі другого співвідношення (5.11) маємо:

                       (8)

звідки отримуємо шукану теплоємність :

                                          

 

Задача 14. Величина  задана як функція характеристичних змінних  і . Виразити через  термічне і калоричне рівняння стану.

Розв ’ язання. За своїми характеристичними параметрами  і  функція  споріднена з вільною енергією . Оскільки за визначенням (5.8) , з умови знаходимо алгебраїчний зв’язок цих функцій:

.                                               (1)

Підставляючи (1) в перше співвідношення (5.11), знаходимо термічне рівняння стану :

                                     (2)

     Калоричне рівняння стану  аналогічно отримуємо з рівняння Гіббса-Гельмгольца (5.31):

                                (3)

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: