Понятие случайного вектора. Ряд распределения

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ

Понятие случайного вектора. Ряд распределения

Двумерного дискретного случайного вектора

 

На практике часто встречаются задачи, в которых результат опыта описывается не одним, а двумя или более числовыми значениями, заранее неизвестными. Примеры: точка попадания в мишень при выстреле характеризуется полярными координатами  или декартовыми координатами ; осколок, образовавшийся при разрыве снаряда, характеризуется весом, размером, начальной скоростью и т.д.; результаты последовательных измерений меняющейся величины выражаются n числами. Подобные примеры приводят к понятию случайного вектора.оро

Случайным вектором (или системой случайных величин) называется упорядоченный набор случайных величин , заданных на одном и том же вероятностном пространстве . Случайный вектор  называется дискретным (непрерывным), если соответствующие СВ  являются дискретными (непрерывными). Свойства случайного вектора не ограничиваются свойствами отдельных величин: они включают также взаимные связи (зависимости) между СВ.

Рассмотрим дискретный случайный вектор . Пусть  и  – упорядоченные по возрастанию возможные значения СВ Х и Y соответственно, а , , . Поскольку события , ,  попарно несовместны и образуют полную группу, то . Тогда под рядом распределения вектора  понимается следующая таблица:

 

Y	Х
			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

 

Вероятности отдельных значений СВ Х и Y определяются равенствами:

 и .

Из этих равенств видно, что зная ряд распределения дискретного случайного вектора , можно найти ряд распределения каждой из СВ Х и Y.

 

 

Многомерное нормальное распределение

 

Непрерывный случайный вектор  называется распределённым по нормальному закону с параметрами ,  и , если его плотность вероятности задаётся формулой

.

Можно показать, что при этом ,  и .

Если СВ Х и Y некоррелированы, т.е. , то данная формула принимает вид

,

где  и  – плотности распределения СВ Х и Y соответственно. Отсюда следует, что некоррелированные СВ Х и Y независимы. Таким образом, нормально распределённые СВ Х и Y независимы в том и только в том случае, если они некоррелированы.

Рассмотрим непрерывный случайный вектор  и введём следующие обозначения: , ;  – определитель корреляционной матрицы ; – матрица, обратная к матрице К. Данный вектор называется распределённым по нормальному закону, если его плотность вероятности выражается формулой

.

При  из этой формулы можно получить приведённое выше выражение для плотности вероятности  нормально распределённого случайного вектора .

 

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Функции случайных величин

 

Пусть имеется СВ Х с заданным законом распределения. Другая СВ Y связана с СВ Х зависимостью , где  – заданная функция. Последнее означает, что если СВ Х принимает некоторое значение х, то СВ Y принимает значение , т.е. значение СВ Y однозначно определяется значением СВ Х. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию СВ Y.

Пусть Х – дискретная СВ с возможными значениями  и их вероятностями . Поскольку , , то Y – дискретная СВ с возможными значениями , вероятности которых равны , а если какое-нибудь значение повторяется, то его вероятность равна сумме соответствующих вероятностей. Из формул для математического ожидания и дисперсии дискретной СВ получим

, .

Отметим, что значения  в общем случае не упорядочены по возрастанию, а некоторые из них могут совпадать. Однако от перестановки и объединения слагаемых под знаком суммы значения  и , очевидно, не изменяются.

Если Х – непрерывная СВ с плотностью вероятности , то заменяя суммирование интегрированием, а вероятности – элементами вероятности, можно получить формулы

, .

Замечание. Из всех приведённых формул видно, что для вычисления математического ожидания и дисперсии СВ Y не нужно находить её закон распределения, а достаточно знать только закон распределения СВ Х.

Аналогичные формулы существуют для математического ожидания и дисперсии функции двух СВ. Пусть СВ Z связана с СВ Х и Y зависимостью , где  – заданная функция. Тогда если Х и Y – дискретные СВ с возможными значениями  и  и известны вероятности , , , то

,

.

Если Х и Y – непрерывные СВ и известна плотность , то

, .

Приведённые формулы имеют естественное обобщение на случай функции произвольного числа СВ.

 

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Закон больших чисел

 

Под законом больших чисел понимается совокупность теорем, устанавливающих условия приближения среднего арифметического большого числа случайных величин к некоторым неслучайным величинам.

Приведём сначала одно важное утверждение, используемое при доказательстве закона больших чисел.

Неравенство Чебышёва. Если СВ Х имеет математическое ожидание m и дисперсию D, то для любого  справедливо неравенство

.

Доказательство проведём для случая дискретной СВ Х. Поскольку события ,  попарно несовместны, то . Для дисперсии СВ Х имеем

,

откуда вытекает требуемое неравенство.

Рассмотрим, далее, две формулировки закона больших чисел.

Теорема Чебышёва. Если  – независимые СВ, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией D, то при неограниченном увеличении n случайная величина  сходится по вероятности к константе m, т.е. для любого  имеет место .

Доказательство. В силу независимости СВ  и свойств математического ожидания и дисперсии

 и ,

поэтому неравенство Чебышёва для СВ  при произвольном  имеет вид . Правая часть при увеличении n стремится к нулю, откуда следует справедливость утверждения теоремы.

Замечание. Данная теорема подтверждает тот факт, что при большом числе независимых измерений СВ Х среднее арифметическое результатов измерений почти всегда лишь мало отличается от её математического ожидания. Действительно, если  – случайные величины, соответствующие результатам n независимых измерений СВ Х, то они независимы и имеют тот же закон распределения и те же числовые характеристики, что и СВ Х, а значит, к ним применима теорема Чебышёва.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р, то при неограниченном увеличении n частота  сходится по вероятности к константе p, т.е. для любого  имеет место .

Доказательство. Обозначим через  число появлений события А в i-м испытании. Очевидно,  – дискретные СВ с возможными значениями 0 и 1, при этом , , . В силу независимости испытаний, СВ  независимы, при этом , ,  и  Применяя теорему Чебышёва к СВ , получим утверждение теоремы Бернулли.

Замечание. Данная теорема подтверждает тот факт, что при большом числе независимых испытаний частота события почти всегда лишь мало отличается от его вероятности.

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ

Понятие случайного вектора. Ряд распределения

1234Следующая ⇒

Поделиться: