Распределения “хи-квадрат”, Стьюдента и Фишера

 

Пусть  – независимые СВ, распределённые по стандартному нормальному закону. Тогда распределение непрерывной СВ  называется распределением “хи-квадрат” (или распределением Пирсона) с n степенями свободы. График плотности  этого распределения имеет вид:

 

 

При  имеет место . Для нахождения g из условия  при различных n и р составлены таблицы.

Непрерывная СВ , где  и СВ Х и  независимы, называется дробью Стьюдента с n степенями свободы. График плотности  этого распределения имеет вид:

 

При любом х имеет место . Для нахождения g из условия  при различных n и р составлены таблицы. При увеличении n распределение СВ  неограниченно приближается к стандартному нормальному распределению.

Непрерывная СВ , где СВ  и  независимы, называется дробью Фишера с  степенями свободы. График плотности  этого распределения имеет вид:

При  имеет место . Для нахождения g из условия  при различных  и близких к нулю р составлены таблицы. Из цепочки равенств

следует, что при близких к единице р соответствующее g можно найти из условия .

 

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Закон больших чисел

 

Под законом больших чисел понимается совокупность теорем, устанавливающих условия приближения среднего арифметического большого числа случайных величин к некоторым неслучайным величинам.

Приведём сначала одно важное утверждение, используемое при доказательстве закона больших чисел.

Неравенство Чебышёва. Если СВ Х имеет математическое ожидание m и дисперсию D, то для любого  справедливо неравенство

.

Доказательство проведём для случая дискретной СВ Х. Поскольку события ,  попарно несовместны, то . Для дисперсии СВ Х имеем

,

откуда вытекает требуемое неравенство.

Рассмотрим, далее, две формулировки закона больших чисел.

Теорема Чебышёва. Если  – независимые СВ, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией D, то при неограниченном увеличении n случайная величина  сходится по вероятности к константе m, т.е. для любого  имеет место .

Доказательство. В силу независимости СВ  и свойств математического ожидания и дисперсии

 и ,

поэтому неравенство Чебышёва для СВ  при произвольном  имеет вид . Правая часть при увеличении n стремится к нулю, откуда следует справедливость утверждения теоремы.

Замечание. Данная теорема подтверждает тот факт, что при большом числе независимых измерений СВ Х среднее арифметическое результатов измерений почти всегда лишь мало отличается от её математического ожидания. Действительно, если  – случайные величины, соответствующие результатам n независимых измерений СВ Х, то они независимы и имеют тот же закон распределения и те же числовые характеристики, что и СВ Х, а значит, к ним применима теорема Чебышёва.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р, то при неограниченном увеличении n частота  сходится по вероятности к константе p, т.е. для любого  имеет место .

Доказательство. Обозначим через  число появлений события А в i-м испытании. Очевидно,  – дискретные СВ с возможными значениями 0 и 1, при этом , , . В силу независимости испытаний, СВ  независимы, при этом , ,  и  Применяя теорему Чебышёва к СВ , получим утверждение теоремы Бернулли.

Замечание. Данная теорема подтверждает тот факт, что при большом числе независимых испытаний частота события почти всегда лишь мало отличается от его вероятности.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: