Теорема сложения вероятностей.

Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A) P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=S₁+S₂+…+S_n

P(S)=P(S₁)+P(S₂)+…+P(S_n)

Следствие: Если событие S₁, S₂, …, S_n образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу. (пример - монетка имеющая орел и орешко)

Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)

Условие зависимости события А от события В: P(A|B) P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место: P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)

Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)P(A₂)…P(A_n)

 

7. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А₁ + А₂ + ... + А_n)=Р(А₁) + Р (А₂) +... +Р (А_n).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий Р(А + В+С) = Р(А) + Р(В) + + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

 

8. Противоположное событие и его вероятность.

 

Событие, противоположное событию A, обозначается как и состоит в том, что в результате испытания A не произошло. Например, в нашем случае значит, что на кубике A выпало число, не равное 1.

Сумма вероятностей события и его отрицания есть достоверное событие, то есть

Например, противоположными событиями являются выпадение четного или нечетного числа очков на грани игрального кубика.

Суммой событий и называется такое событие (или ), которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий: или А, или В.

Произведением событий А и В называется такое событие АВ (или ), которое заключается в наступлении событий А и В одновременно.

 

9. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

 

Прежде чем познакомиться с теоремой, введем сопутствующие понятия: зависимые и независимые события. Рассмотрим примеры:

а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А- попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.

б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С- выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность - Р(Д). Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.

В данных примерах описаны независимые события.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью Р_А(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)Р_А(В).

Доказательство:

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)= L / N . Умножим и разделим на М:

Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство Р_А(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Справедлива обратная теорема:

Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.

 

10. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

 

Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B; записывается P(A|B) и читается «вероятность A при условии B», или «вероятность A при данном B»

Совместная вероятность двух событий — это вероятность их пересечения. Совместная вероятность A и B записывается или

Тогда как маргинальная вероятность — это безусловная вероятность P(A) события A; то есть, вероятность события A, независимого от того, наступает ли какое-то другое событие B или нет. Если о B можно думать как о «некоторой случайной величине, принявшей данное значение», маргинальная вероятность A может быть получена суммированием (или более широко интегрированием) совместных вероятностей по всем значениям этой случайной величины. Например, если есть два возможных значения, соответствующие событиям B и B*, то . Эту процедуру иногда называют маргинализацией вероятности.

Заметьте, что в этих определениях не требуется причинных или временных отношений между A и B. A может предшествовать B или наоборот или они могут случаться в одно и то же время. A может быть причиной B или наоборот или они могут не иметь никакого причинного отношения вообще. Заметьте, однако, что причинные и временные отношения — неформальные понятия, не принадлежащие вероятностной структуре. Они могут использоваться в некоторых примерах исчисления вероятностей, в зависимости от интерпретации, данной событиям.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: