Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , ..., Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Р (A) = 1 — q1q2 ... qn.(*)   Доказательство Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1 , А2 , ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P (A) = l — qn. (**)

12. Полная группа событий.
Теорема. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице:

Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

Противоположные события.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

примеры противоположных событий

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).

З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

p + q = l
З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

.

 

 

13. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

 

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. Причем вероятность появления некоторого события А в каждом испытании не изменяется. Например, подбрасывают монету 5 раз. В каждом испытании герб может появиться с одной и той же вероятностью 1/2; стрелок стреляет по мишени 10 раз, при каждом выстреле вероятность попадания одна и та же. Такие ситуации носят название схемы повторных испытаний . Итак, опишем модель схемы повторных испытаний: проводятся п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одинаковой вероятностью и является случайным. Интерес представляет вопрос о вероятности появления события А в т из п проведенных испытаниях.

Рассмотрим задачу: проводятся 5 независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится с одинаковой вероятностью р. вычислить вероятность того, что событие А появится в трех из проведенных пяти испытаниях.

Обозначим А_i - появление события А в i-том испытании, тогда А_i -не появление события А в i-том испытании. Рассмотрим все возможные случаи появления события А в двух случаях из пяти:

Найдем вероятность для каждого исхода. Пользуясь теоремой умножения вероятностей для независимых событий. Заметим, что полученные вероятности будут равны, т.к. произведения отличаются только порядком множителей, тогда, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим выражение для вычисления вероятности события В- событие А появится в двух испытаниях из пяти проводимых:

Обозначим 1-р=q, тогда

Вероятность Р(В) обозначим Р₅(2) , т.е. вероятность появления события А в двух из пяти независимых испытаниях.

Обобщим результаты задачи и запишем формулу, позволяющую вычислить вероятность появления события А в т испытаниях из п проводимых:

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Если необходимо вычислить вероятность появления события А в диапазоне от т₁ до т₂ , то применяется теорема сложения вероятностей для независимых событий.

 

14. Интегральная теорема Лапласа.

Вернемся к предыдущей задаче, но изменим вопрос. Пусть требуется вычислить вероятность того, что попаданий по мишени будет не менее 50 и не более 70.

Вычислить вероятность для каждого случая конечно можно. Используя рассмотренный метод, но диапазон довольно велик, поэтому на практике в подобных случаях для расчетов применяют формулу, позволяющую вычислить вероятность для любого диапазона (т₁, т₂). Эту формулу дает интегральная теорема Муавра- Лапласа.

Интегральная теорема Муавра- Лапласа: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_п(т₁, т₂) того, что событие А появится в п испытаниях от т₁ до т₂ раз. Приближенно равна определенному интегралу

где

Данный интеграл называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х).

Ф(х)- нечетная функция, значения ее приведены в "Таблице значений функции Ф(х)". При x >5 принимают Ф(х)=0,5.

Вернемся к задаче и вычислим требуемую вероятность:

 

 

15. Дискретная случайная величина. Способы ее задания.

 

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

Она характеризует степень разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания, т.е. ширину диапазона значений.

Расчетные формулы:

(6.9)

Дисперсия может быть вычислена через второй начальный момент:

(6.10)

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия СВ (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина.

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядности характеристики рассеивания пользуются величиной, размерность которой совпадает с размерностью СВ.

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называется характеристика

. (6.11)

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины с равна нулю.

Доказательство: по определению дисперсии

При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется.

D[X+c] = D[X].

Доказательство: по определению дисперсии

(6.12)

3. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с².

Доказательство: по определению дисперсии

. (6.13)

Для среднего квадратичного отклонения это свойство имеет вид:

(6.14)

Действительно, при ½С½>1 величина сХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Х. Следовательно, эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М[сХ] больше, чем возможные значения Х вокруг М[X], т.е. . Если 0<½с½<1, то .

Правило 3s. Для большинства значений случайной величины абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, или, другими словами, практически все значения СВ находятся в интервале:

[ m - 3s; m + 3s; ].(6.15)

 

 

16. Математическое ожидание М(х) случайной величины.

Математическое ожидание (МО) характеризует среднее взвешенное значение случайной величины.

Для вычисления математического ожидания для ДСВ каждое значение x_i учитывается с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. (6.1)

M[X]-оператор математического ожидания;m_x -- число, полученное после вычислений по формуле.Для НСВ заменим отдельные значения непрерывно изменяющимся параметром , соответствующие вероятности - элементом вероятности , а конечную сумму – интегралом: (6.2)

Механическая интерпретация понятия математического ожидания: на оси абсцисс расположены точки с абсциссами , в которых сосредоточены соответственно массы р₁, р₂,...., причем . Тогда МО – абсцисса центра тяжести. Для НСВ – масса распределена непрерывно с плотностью .

Для смешанных случайных величин математическое ожидание состоит из двух слагаемых.

, (6.3)  где сумма распространяется на все значения x_i, имеющие отличные от нуля вероятности, а интеграл – на все участки оси абсцисс, где функция распределения F(x) непрерывна.

Физический смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины, т.е. то значение, которое может быть использовано вместо конкретного значения, принимаемого случайной величиной в приблизительных расчетах или оценках.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: