Метод подстановки. Интегрирование по частям.

 Данный метод закл во введении новой переменной интегрируя при этом заданный интеграл приводиться к новому интегралу кот явл табличным или сводиться к нему.

 

Тригонометрические подстановки:

=cost x=a*sint = a tg t x=a sec t = a sec t x= a tg t 

 

Метод интегрирования по частям

Пусть u(x) и v(x)-диф-ые ф-ии, известно что

 d (u*v)=u*dv + v*du

u*dv=d(uv)-v*du

проинтегрирум:  

таким образом

 

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Интегралы содержащие квадратный трёхчлен: основной приём вычисления:

(x+b/2)^2+C-(b/4)^2

http://ивтб.рф/exams/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BD/1/03.htm

http://vunivere.ru/work12832

http://xplusy.isnet.ru/Files/Files_integral/Rats.pdf

 

Разложение рациональных дробей на сумму элементарных дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей.

Дробно рационльно функцией ( или рациональной дробью) называется функция равная отношению 2 многочленов , т.е. f(x)=

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби путём деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов.

Интегрирование алгебраических иррациональностей

Интегралы вида , где - натуральное число, - функция, рационально зависящая от своих аргументов.
Пример такой функции - . Как видно из этого примера, к рассматриваемому типу сводятся интегралы вида , где p, q, r, … - рациональные числа, так как, если n - общий знаменатель чисел p, q, r, … , то подынтегральная функция рационально зависит от x и . Подстановка x = t ⁿ рационализирует подынтегральную функцию, т.е. сводит её к рациональной функции переменной t. Пример: . Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому применяем подстановку x = t 6:

Тригонометрические подстановки для интегралов вида Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. После выделения полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной) интеграл сводится, в зависимости от знаков и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов: , , . Далее:

1. рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t). Мы применяли эту подстановку в разделе 10.5. Замена переменной в неопределённом интеграле.
2. рационализируется подстановкой (или , или ).
3. рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или

x = a sh t).

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: