Интегрирование выражений содержащих тригонометрические функции.

Интегралы вида R(sin x, cos x) dx

Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.

1) Подстановка t=tg(x/2) всегда приводит к интегралу от рациональной дроби.

Sin(x)=2t/1+t^2, cos(x)=1-t^2/1+t^2. Dx=2dt/1+t^2

 
2) Если имеет место R(-sin x,- cos x) тождественно равен R(sin x, cos x) , то применяю подстановку t=tg(x)

Sin(x)=t/ , cos(x)= 1/ . Dx=dt/1+t^2

Интегрирование выражений sin^2mx · cos²ⁿx

Интегралы вида

∫ sin2mx · cos2nx dx,

где m и n — натуральные числа, находятся с использованием формул понижения степени:

sin2x = (½)* (1 − cos2x), cos2x = (½)* (1 + cos2x), sinx ·cosx = (½) sin2x .

Эти формулы могут применяться многократно, пока подынтегральное выражение содержит степени тригонометрических функций и их произведения.

III. Интегрирование выражений вида sin (αx) · sin (βx) , sin (αx) · cos (βx) , cos (αx) · cos (βx) .

При интегрировании этих выражений используются тригонометрические формулы:

sin (α x) · sin(β x) = (cos [(α – β)x] – cos [(α + β)x])/2

sin (α x) · cos (β x) = (sin [(α + β)x] + sin [(α − β)x])/2

cos (αx) · cos (βx) = (cos [(α + β)x] + cos [(α − β)x])/2

 

11. Понятие определённого интеграла и его свойства:

Если интегральная сумма имеет предел, который не зависит от способа разбиения отрезка а,б на частичные отрезки, ни от выбора точек С_i в них, то этот предел называется определённым интеграломот функции f(x) на отрезке а,б и обозначается :

Теорема Коши теорема о существовании определённого интеграла если функция y=f(x) не прерывна на отрезке a,b то определённый интеграл существует.

Фигура ограниченная сверху неотрицательной кривой y=f(x) снизу осью OX справа и слева прямыми , называется криволинейной трапецией

Интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции

Свойства:

 

Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла.

 

 

Если а<c<b , то

 

Если функция f(x) непрерывна на отрезке а,б то существует точка с принадлежащая данному отрезку такая что

Производная от неопределённого по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции.

 

Формула Ньютона Лейбница

 

Если функция y=f(x) неопределенна на отрезке ( а,б) и F(x) какая либо первообразная на отрезке то имеет место формула:

 

 

Вычисление определённого интеграла

http://www.tutoronline.ru/blog/vychislenie-opredelennogo-integrala

http://mathportal.net/index.php/matematicheskij-analiz/vychislenie-opredelennykh-integralov

Интегрирование чётных и нечётных функций на отрезке, симметричном относительно нуля.

http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/Calc1-ru/12/09.htm

http://vladimnat.narod.ru/lecpdf/malec15.pdf

⇐ Предыдущая123

Поделиться: