Обратно-степенное распределение.

Экспериментальные наблюдения за атмосферными аэрозолями позволили сформулировать ряд эмпирических закономерностей, описывающих их распределение.

В работах Юнга (Junge), выполненных в конце 40-х - начале 50-х годов, было показано, что для атмосферных аэрозолей размером от десятых долей микрометра до нескольких десятков микрометров величина ∆ V/∆ ln(r) остается постоянной. Это значит, что общий объем ∆ V, занимаемый частицами, с радиусами от 0, 4 до 0, 6мкм или от 0, 6 до 0, 9 мкм, от 1 до 1, 5 мкм или от 4 до б мкм, примерно одинаков. Поскольку физический объем частицы радиусом 4-6 мкм в 10³ раз больше объема частицы с радиусом 0, 4-0, 6мкм, постоянство ∆ V/∆ ln(r) требует, чтобы концентрация частиц большего радиуса была в 10³ раз меньше. Хотя встречается большое число отклонений от данного правила, тем не менее, общепринято в настоящее время, что для природных аэрозолей, образовавшихся в основном в результате дезинтеграции земной поверхности, справедлива формула:

                             (1.9)

Парциальный объем частиц, приходящихся на единичный интервал радиусов, пропорционален, таким образом, r^-4. Более поздние исследования показали, что показатель степени при r может быть в общем случае как больше 3, так и меньше 3. Любое распределение, которое может быть линеаризовано в логарифмических координатах, описывается таким обратным степенным распределением:

,                                          (1.10)

либо

,                                       (1.11)

где B = const. Распределения такого типа используют весьма широко, но ими также часто злоупотребляют. Поэтому обсудим некоторые их достоинства и недостатки.

• Общее число частиц. Для его определения необходимо вычислить , который расходится при любых a. Если задать нижний предел как r_min (трудности такого шага были обсуждены выше), то получим:

                                  (1.12)

Таким образом, общая концентрация определяется величиной r_min. Для a = 3 рассчитанное общее число частиц возрастает в 8 раз при двукратном уменьшении r_min.

• Средний радиус. Интеграл в этом случае также расходится, поэтому необходимо ввести r_min. Тогда получим:  

                        (1.13)

Если a = 3, то средний радиус близок к r_min. Если a = 1, то интеграл расходится и средний радиус неопределим.

• Общий объем частиц. Общий объем частиц задается величиной

                                     (1.14)

которая не определена при a = 3. Хотелось бы отметить, что именно a = 3 было предсказано на основании постоянства ∆ V/∆ ln(r). Если взять интеграл от r_min до r_{m ax}, то общий объем частиц составит:

.      (1.15)

Если a > 3, то получим:

.                  (1.16)

А если a < 3, то:

.             (1.17)

Если r_min много меньше r _max, тогда из уравнения (16) следует, что объем

пропорционален  и весьма слабо зависит от r_min. Если a < 3, то общий объем в основном определяется r_min. Следовательно, если состав систематически меняется с изменением размера, то в зависимости от тангенса угла наклона a средний состав аэрозоля будет меняться очень сильно.

• Общая площадь. В некоторых случаях эта характеристика очень важна. В зависимости от того, a < 2 или a > 2, доминируют большие или меньшие частицы. Коэффициент оптической экстинкции в грубом приближении пропорционален площади поверхности частицы вплоть до r_min ≈ 0.5λ, где λ - длина волны. Состав частиц (из оптических измерений) будет определяться концом интервала радиусов для a ≈ 3 (то есть оптическое поведение системы будет определяться размером в десятые доли мкм). Если a < 2, то происходит сдвиг в сторону больших частиц.

 

Гамма-распределение.

Закон распределения имеет вид:

,                                       (1.18)

он обеспечивает экстремум функции распределения при r_extr = b^-1 и убывание функции - медленное при уменьшении радиуса и экспоненциально быстрое при r > r _extr. Однако теоретическое исследования в области сухих аэрозолей и экспериментальные данные подтверждают, что при r < r _extr функция распределения также убывает по экспоненте. Лучшее приближение к экспериментальным данным можно получить, если в качестве аргумента взять обратный радиус или какую-либо другую отрицательную степень.

Такие распределения, известные как гамма - распределения, удобны для машинных расчетов, однако представляют всего лишь удобную аппроксимацию экспериментальных данных и не имеют под собой никакой теоретической основы.

Можно легко получить выражение для определения первого момента гамма - распределения. Если принять, что

,                                 (1.19)

то легко взять интеграл вида

,    (1.20)

где Г - соответствующее значение γ -функции:

                             (1.21)

в точке . Это очень удобное свойство позволяет выбирать функцию  таким образом, чтобы удовлетворить экспериментально найденным среднему значению, моде, ширине и кривизне, или любым трем моментам, выбрав соответствующим образом b, β и λ .

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: