Точные результаты решения уравнений

 

Дальнейшие шаги связаны с получением явного вида решения (3.24). Для этого необходимо получить зависимость . Введем новую функцию  уравнением:

             (3.25)

Эта функция предназначена для того, чтобы плавно перейти от значений концентрации пара на поверхности частицы к концентрации на далеких от частицы расстояниях. Естественно, . При подстановке выражения (3.24) в (3.25) получаем:

(3.26)

Здесь введены обозначения . Первый интеграл в правой части (3.26) легко посчитать:

            (3.27)

 

Второй тоже легко привести к удобному для использования виду, для этого введем замену переменных: , :

 (3.28)

В результате для  получим удобное выражение:

(3.29)

Теперь выражения для распределения концентрации  и потока молекул j принимают форму:

                 (3.30)

                (3.31)

Здесь введены следующие обозначения  и

(3.32)

В соответствии с уравнением (3.11) можно записать, что , а также , откуда с учетом (3.25) при  для потока у поверхности частицы получим:

                              (3.33)

где D коэффициент диффузии (D=1/3 в БГК приближении) и введем обозначение . Таким образом, найдена связь между потоком у поверхности частицы с параметрами распределения концентрации пара на далеком удалении от нее.

Чтобы установить форму этой зависимости,  представим в виде двух слагаемых, каждое из которых определяет поведение концентрации у поверхности и вдали от частицы:

               (3.34)

Здесь функция  равна единице при  и ничтожно мала на расстояниях порядка длины свободного пробега молекул пара и более (r порядка 1 в наших единицах). Тогда

,                  (3.35)

где

(3.36)

и

          (3.37)

При подстановке соотношения (3.34) в уравнения (3.30) и (3.31) можно получить:

     (3.38)

              (3.39)

где . Уравнение (3.33) позволяет исключить комбинацию  при помощи линейной системы уравнений для  и :

           (3.40)

(3.41)

Решение этих уравнений можно представить через детерминанты:

(3.42)

                    (3.43)

        (3.44)

Окончательно получим:

        (3.45)

Можно получить и явную форму этих выражений:

(3.46)

 

Пограничный слой.

 

Следует учитывать, что, несмотря на то, что все выше полученные выражения точные, пока нет рецепта, как считать интегралы, входящие в выражения (3.42- 3.44). Для этого надо понять, как выбрать конкретный вид функции . Вообще говоря, это может быть сделано при нахождении точного решения уравнения (3.8). Однако на данном этапе это невозможно. На самом деле известны свойства функции , поэтому ее можно подобрать, используя подгоночные параметры пробных функций. Для этого необходимо с помощью этой функции суметь подобрать правильный профиль концентрации паров вокруг частицы. Такой функцией может быть зависимость вида:

                 (3.47)

где величина параметра - это характерное расстояние, на котором свободно молекулярный режим переходит в непрерывный. Множитель  - описывает профиль концентрации конденсирующихся паров в безстолкновительном режиме, когда поток пропорционален плотности, а не ее градиенту. Поскольку поток пропорционален , то . Экспоненциальный множитель аппроксимирует переход от свободно молекулярного режима к непрерывному. Таким образом, вместо уравнения (3.36) получается:

  (3.48)

Представленная интерпретация достаточно прямолинейна, чувствительность окончательного результата к величине  будет позже исследована. На рисунке 1 показан профиль концентрации при различных значениях величины . Вообще говоря,  может быть найдена при помощи вариационных расчетов.

Рис. 1. Профиль концентрации вблизи поверхности частицы (см. уравнения (3.25), (3.34) и (3.47)). Концентра­ции нормированы на 1, расстояние измерено в длинах свободного пробега. Кривые 1-4 рассчитаны для  = 1, 3, 10,  соответственно как функции расстояния от центра частицы. Радиус частицы а=1. Последняя кривая соответствует приближению скачка профиля концентрации: сам профиль концентрации получен из уравнения Фика, а граничные условия для концен­трации пара - из решения кинетического уравнения (см. уравнение (3.59)).

Итак, найдём параметр . Для этого построим функционал и минимизируем его численными методами с помощью ЭВМ. Итак, вспомним уравнение (3.13). Оно и станет основой для нашего функционала:

      (3.49)

В результате преобразования получим:

  (3.50)

Теперь можно записать функционал, который надо минимизировать относительно параметра :

(3.51)

где

             (3.52)

, (3.53)

, (3.54)

, (3.55)

                   (3.55)

  (3.56)

          (3.57)

(3.58)

Вышеописанная модель была реализована в двух видах: в качестве программы на языке C с использованием библиотеки GSL, а так же в виде приложения пакета Mathcad. Рассмотрим полученные результаты:

Рис. 2. Значение функционала (3.51) в диффузионном (непрерывном) режиме .

 

Рис. 3. Значение функционала (3.51) в переходном режиме .

Рис. 4. Значение функционала (3.51) в свободномолекулярном (кинетическом) режиме .

Мы видим, что функционал уменьшается с ростом . Это соответствует скачку концентрации на поверхности частицы. Таким образом, модель оказалась чувствительной к скачку концентрации, то есть оправдывающей приближение, описанное ниже.

Рассмотрим влияние параметра на окончательный результат:

 

 

Рис. 5. Зависимость потока конденсирующихся паров . Потоки нормированы на 1, расстояния измере­ны в длинах свободного пробега: а) - полная вероят­ность прилипания, кривая 1 соответствует  = 1, кри­вая 2 соответствует скачку концентрации (  ), показано также и отношение этих потоков; б) - при уменьшении  приближение скачка концентра­ции дает лучшую точность

Из рисунка 5 видно, что окончательный результат не сильно зависит от параметра . Максимальное отклонение между граничными значениями  и  не превышает 10% и уменьшается при уменьшении .

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: