Развитие логического мышления при обучении математике.

Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся.

Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.

Во-первых, проблема развития логического мышления долж­на иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу боль­шого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усва­иваемом содержании школьного курса математики, где предъявляются наиболее высокие требования по сравнению с другими школьными предметами по логической организации материала.

Во-вторых, необходимо четко поставить, сформулировать про­блему в силу того, что разные авторы под развитием логического мышления подразумевают различные задачи. В статьях, рекомен­дациях, как правило, поднимаются отдельные аспекты, обшей за­дачи развития логического мышления. Есть необходимость в це­лом сформулировать проблему.

Существуют различные трактовки терминов «логика мышле­ния», «логическое мышление». В педагогике, в методике препо­давания математики эти понятия отдельными авторами понима­ются очень широко как обеспечение связей в мыслях. Такое пони­мание охватывает и логику поиска нового знания (диалектичес­кую логику) и логику оформления имеющегося знания и логику здравого смысла. Также имеет место смешение элементарных психологических операций процесса мышления и логических форм. Нередко к логическим операциям относят элементарные операции мышления: анализ, синтез, сравнение и т.д.

Кроме того, часто понятия диалектическое и логическое мыш­ление четко не разделяются.

В данном изложении принята точка зрения на логическое мыш­ление как отличное от диалектического, творческого, мышления поиска нового знания.                                             

В реальном процессе мышления творческое и логическое мыш­ление тесно переплетены, взаимопроникают, но нетождественны.

В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два понятия целесообразно разделить. Тогда логическое мыш­ление - мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Логическое мыш­ление в таком понимании не является творческим, т. к. согласно законам и правилам формальной логики нельзя вывести из посы­лок ничего такого, что не было бы в этих посылках заключено. Эта мысль содержится в словах английского философа Д. Локка о том, что силлогизм в лучшем случае есть лишь искусство вести борьбу при помощи того небольшого знания, какое у нас есть, не прибавляя к нему ничего. Известные математики, изучавшие про­цесс открытия нового знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре), психо­логи, изучавшие процесс мышления (Я. А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.), разделяют творческое и логически мышление. Логи­ческие рассуждения предполагают отсутствие скачка мысли, про­пуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т. е. озарения, инсайта, интуиции.

Задача развития логического мышления учащихся ставится и определенным образом решается в массовой школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмету отмечена – развитие логического мышления. Еще столетие назад Л.Н. Толстой отмечал, что математика имеет своей задачей не счисление, но обучение человеческой мысли при счислении.

Но программы по математике пока не содержат расшифровки этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает. Представляется, что есть необходимость осознавать проблему развития логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее реализовывать в обычном учебном про­цессе, не привлекая дополнительного содержания, лишь расстав­ляя в обычном учебном материале определенные акценты.

Выработка умений учащихся логически мыслить протекает быстрее, если обучение определенным образом организовано, если осознаются отдельные логические формы. С осознанием отдель­ных логических форм человек начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи.

Существующее положение дел в усвоении норм логического мышления не может считаться удовлетворительным в массовой школе, т. к. многие учащиеся, выпускники школ допускают мно­гочисленные логические ошибки при определении понятий, их классификации, путают прямую и обратную теоремы, свойства и признаки понятий, не умеют подводить под определение, не уме­ют строить отрицания высказываний и т. д. Приведем примеры типичных ошибок учащихся. Например, при обосновании, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным, назы­вается теорема Пифагора, а не ей обратная. При определении понятий неверно указывается родовое понятие: «Диаметр – пря­мая, проходящая через центр окружности». Неверно или не пол­ностью указываются видовые отличия: «Параллелограмм – это такой четырехугольник, у которого боковые стороны равны». Отсутствует родовое понятие или видовое отличие: «Средняя ли­ния трапеции – это отрезок», «Параллелограмм – это когда сто­роны параллельны». Формулировки определений избыточны: «Равнобедренный треугольник – это треугольников котором сто­роны, лежащие против равных углов, равны».

Учащиеся путают определение понятия, признак, свойство. Вместо признака, требуемого при решении задачи, приводится определение или свойство, вместо определения – признак и т.д.

Многочисленные ошибки наблюдаются при установлении свя­зи между понятиями, при классификации понятий, при выяснении, которая из двух теорем является следствием другой. Пример не­верной классификации: «Прямые в пространстве могут быть па­раллельными, перпендикулярными, пересекающимися, скрещива­ющимися». И т. д.

Как можно видеть, существует необходимость в процессе обу­чения обращать специальное внимание на развитие логического мышления. В настоящем пособии тема развития логического мышления учащимся рассматривается после того, как основные вопросы курса методики изучены. Представляется, что когда предмет методики преподавания математики лишь начинается, цели развития логического мышления при обучении математике могут быть лишь обозначены примерно в том плане, как это сде­лано в программе по математике.

По мере изучения вопросов общей и частных методик проблема развития логического мышления раскрывается более деталь­но. Требования к формулировкам определений понятий, к по­строению доказательств и т. д. рассматриваются в соответству­ющих темах. Однако разрозненные сведения необходимо систе­матизировать, обобщить, углубить, довести до такого уровня, что­бы постанова целей развития логического мышления, постанов­ка соответствующих учебных задач не представляла бы трудно­стей.

Почему проблема развития логического мышления чаще все­го поднимается в школьном курсе математики? Существуют ме­тодические работы по развитию мышления, в том числе и ло­гического, в школьных курсах русского языка, истории и т. д. В русском языке, чтобы оградить себя от возможных граммати­ческих ошибок, приходится постоянно рассуждать логически. Ло­гически мыслить можно учить через любую науку, любой школь­ный предмет. Но на школьную математику в этом плане ложится самая большая нагрузка. Ни в одном школьном предмете нет це­почек получения новых суждений, т. е. нет сложных формальных доказательств. В других школьных предметах доказательства фрагментарны, состоят из одного - двух шагов. Наличие много­шаговых доказательств – одно из проявлений специфики матема­тики – науки и школьного предмета. Отсутствие полноценного школьного курса математики существенно отражается на логи­ческом, и, соответственно, на общем развитии человека.

Особую актуальность проблема развития логического мышления приобретает в связи с реализацией идей гуманизации и гумантаризации школьного математического образования.

История проблемы развития логического мышления

Учащихся.

История проблемы развития логического мышления при обу­чении математике связана определенным образом с проблемами строгости доказательства в самой науке математике/Известные из истории математики первые доказательства таковыми не явля­ются с современной точки зрения. В древней индийской книге Ганеши доказательство формулы площади круга ограничивалось рисунком (см. рис.4) и надписью: «Смотри».

Рис. 4

Логика формальных рассуждений – формальная логика до­шла до настоящего времени из древних времен благодаря рабо­там древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), в которых разработана теория дедукции, т. е. правил логическо­го вывода, независящих от содержания рассуждений. Аристоте­лю принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в рассуждениях одни предложения выводятся из других независимо от их содержания, в силу своей определенной структуры, формы. Отсюда и название формаль­ной логики.

Формальная логика возникает тогда, когда развитие специ­альных наук и вообще человеческого мышления сделало акту­альным вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получать пра­вильные выводы.

В связи с появлением неэвклидовых геометрий, осознанием проблемы непротиворечивости системы научных знаний возни­кает потребность в совершенствовании аппарата доказательств! В IXX веке в результате применения в формальной логике мате­матических методов возникает математическая логика.

Математическая логика существенно обогатила курс фор­мальной логики, введя большую строгость в математические доказательства на основании новых требований к получению но­вых суждений.

Ответ на вопрос, заниматься ли развитием логического мыш­ления учащихся, отечественные психологи и методисты давали однозначно положительный в отличие от зарубежных, например, Ж. Пиаже, отстаивавшего положение о независимости развития логических структур от обучения.

Методист И.А. Гибш, выделяя аспекты проблемы развития логического мышления, подчеркивал необходимость формирова­ния умений учащихся: по подведению объектов под определение, классификации понятий, выведению следствий из определения, развитию умений пользоваться суждениями и умозаключениями, получать новые умозаключения на основании правил вывода и законов логики, пользоваться терминами «необходимо» и «дос­таточно», использовать различные приемы и виды доказательств. В недалеком прошлом крайнюю точку зрения в плане развития логического мышления учащихся отстаивал методист А. А. Сто­ляр, который считал необходимым на определенном этапе обуче­ния знакомить учащихся с элементами математической логики.

В работе И.Л. Никольской и Е.Е. Семенова выделены зна­ния и умения, которыми, по мнению авторов, выпускник школы должен владеть: уметь правильно формулировать определение знакомого понятия, классифицировать, понимать значение свя­зок «и» и «или», уметь строить отрицание утверждений, содержа­щих кванторы, понимать смысл терминов «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», «не более», «не менее» и т. д.

Содержание проблемы развития логического мышления при    обучении математике в школе.

Основной задачей формальной логики является отделение пра­вильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждение можно считать верным лишь в том случае, если из истинных суж­дений – посылок нельзя получить ложное суждение - ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заклю­чения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную инфор­мацию. Поэтому такие рассуждения недопустимы.

Совокупность общественной практики, являющейся критери­ем истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассужде­ний, от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. Отсюда понятна важность законов и правил выво­да. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо - не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.

Говоря о логической составляющей в обучении учащихся ос­тановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в поря­док, выясним, какой смысл вкладывал М.В. Ломоносов в извест­ные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.

Установить порядок на некотором множестве объектов – зна­чит пронумеровать их. Существуют определения строгого и не­строгого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения «предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на мно­жестве суждений можно установить с помощью отношения «сле­довать», «быть следствием». Теорема о вписанном угле треуголь­ника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение «предшествовать» – отношение строгого порядка, отношение «следовать» – пример отношения нестрогого порядка.

Дедуктивное (аксиоматическое) построение курса математи­ки и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.

Почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информа­ция была упорядочена? На этот вопрос ответ можно найти в рабо­те А.А. Столяра: «Эта информация может оказаться в уме челове­ка неупорядоченной, т.е. размытые знания - изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в каче­стве исходного материала для получения новых знаний. Во-вто­рых, возможно также, эта информация будет лежать «мертвым грузом», т. е. заполнять лишь память человека, но не преобразо­вываться им, не использоваться для получения новых знаний ло­гическим путем, с помощью рассуждений».

Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащи­мися, изучающими дедуктивно построенный математический курс. Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом:

Учащиеся должны уметь:

♦ формулировать определения понятий с использованием раз­личных связок и кванторов;

♦ приводить примеры понятий, подводить объекты под опреде­ления различных логических конструкций;

♦ приводить контрпримеры, т. е. строить отрицание определе­ний различных логических конструкций;

♦ понимать отношения между двумя понятиями;

♦ проводить классификацию известных понятий;

♦ понимать свойства конкретных отношений – рефлективность, симметричность, транзитивность – без употребления соответ­ствующей терминологии;

♦ понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то... »;

♦ выделять условия и заключения теоремы;                               

♦ строить отрицание утверждений различной структуры;

♦ различать свойства и признаки понятий;                              

♦ понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;

♦ уметь проводить полученное доказательство;

♦ понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в отдельных случаях;

♦ понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;

♦ использовать отдельные методы доказательства – метод от противного, полную индукцию, доказательства методом исключения;

♦ понимать основные принципы построения дедуктивной теории.

Овладение перечисленными действиями по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: