Оценки спектральных радиусов интегральных операторов

Глава I

Интегральные операторы

Операторы

При рассмотрении отображений пространств в функциональном анализе используют понятия операторов и функционалов [9], [14], [30].

Под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию.

Под функционалами понимают функции, отображающие элементы линейного пространства в его пространство скаляров.

Значительное число задач, встречающихся в математике и ее приложениях, могут рассматриваться как конкретные примеры операторных уравнений.

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Определение. Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если

А( λ ₁ x ₁ + λ ₂ x ₂) = λ ₁А( x ₁) + λ ₂А( x ₂)

для любых x ₁ , x ₂ Î D и любых скаляров λ ₁ и λ ₂.

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).

Определение. Оператор А называется непрерывным в точке x₀ Î X, если Аx → Аx₀ при x → x₀. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x₀ Î X можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Введем в рассмотрение банахово пространство [3]. Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство.

Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве E, и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î E; тогда А непрерывен в любой точке x₀ Î E.

Доказательство.

Рассмотрим равенство Аx – Аx₀ = А (x – x₀). Если x → x₀, то z = x – x₀→ 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx₀ → 0, что и требовалось доказать.

Определение. Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x=0.

Пусть S₁(0) – замкнутый шар || x || ≤ 1 в банаховом пространстве E.

Будем называть линейный оператор А: X→ Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S₁(0), т.е. если ограничено множество

{ ||А x ||, || x || ≤ 1}.

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x, || x || ≤ 1 справедливо неравенство

||А x || ≤ с (1)

Теорема 2. Если - линейный оператор, то следующие утверждения эквивалентны:

1) существует точка , в которой оператор A непрерывен;

2) оператор A непрерывен;

3) оператор A ограничен;

4) величина конечна.

Теорема 3. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

||А x || ≤ с || x || (2)

для любых x Î E, где с – постоянная.

Теорема 4. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§ 2. Конусы

Из теоремы 2, предыдущего параграфа следует, что величина тесно связана с непрерывностью оператора A [4].

Лемма. Для любого линейного оператора A справедливы равенства

Доказательство.

Введем обозначения

и последовательно докажем цепочку неравенств . Каждая из величин и может равняться не только неотрицательному вещественному числу, но и плюс бесконечности.

Неравенство очевидно, поскольку в обеих частях неравенства супремум берется от одной и той же величины , но при вычислении множество допустимых значений x шире.

Чтобы убедиться в справедливости неравенства , заметим, что для любого мы имеем

а значит, и супремум выражения , вычисленный по всем , не превосходит β, т.е. справедливо неравенство , что и требовалось доказать.

Чтобы проверить неравенство , заметим, что для любого и такого, что , имеем .

Если же x=0, то . Поэтому , что и требовалось доказать.

Определение. Общее значение выражений

(3)

называется нормой оператора A и обозначается через .Такое название объясняется тем, что, как показывает cледующая теорема, величина действительно обладает свойствами нормы: она неотрицательна, положительно однородна и для нее справедливо неравенство треугольника.

Будем рассматривать банахово пространство , полуупорядоченное конусом , и оператор произвольной природы, действующий в [29].

Определение. Выпуклое множество называется конусом, если вместе с каждой своей точкой оно содержит луч, проходящий через , и если из вытекает, что (лучом, проходящим через точку , называется совокупность точек ).

Определение. Конус называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент пространства может быть представлен в виде , то конус называется воспроизводящим. Конус называется нормальным, если из неравенства следует, что , где – константа нормальности, не зависящая ни от , ни от .

Определение. Множество функционалов сопряженного пространства , принимающих неотрицательные значения на элементах конуса , называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус .

Будем говорить, что является квазивнутренним элементом, и обозначать , если для каждого ненулевого функционала выполняется неравенство . Положительный линейный оператор назовем неразложимым, если для любого из неравенства , следует, что .

В соответствии с [44], условимся писать, что , если .

В случае конечномерных пространств с конусом, составленном из векторов с неотрицательными компонентами, линейные положительные операторы определяются матрицами с неотрицательными элементами.

Полугруппа (конус) К называется нормальной (нормальным), если существует такое постоянное число N, что для всех x, y Î E, удовлетворяющих соотношению

q £ x £ y,

имеет место неравенство

||x|| £ N||y||.

В этом случае говорят, что норма в Е полумонотонна.

Конусы неотрицательных функций в пространствах С, Z_p нормальны. Нормальны также все конусы в конечномерных пространствах. Не каждый конус обладает свойствами нормальности. Например, конус неотрицательных функций в пространстве с нормой

не обладает свойством нормальности.

Пространство, в котором каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел, называется правильнополуупорядоченным. Конус, который порождает правильную полуупорядоченность будем назвать правильным.

Определение. Конус К назовем вполне правильным, если каждая монотонная ограниченная по норме последовательность сходится (по норме) к некоторому пределу.

Известно (см. [28], [30]), что каждый вполне правильный конус является правильным, каждый правильный конус является нормальным, конусы в конечномерных пространствах Rⁿ являются вполне правильными. В конечномерном пространстве каждый воспроизводящий конус обладает свойством телесности.

Приведем еще один крайне важный класс конусов. Прежде отметим следующее определение.

Определение. Пусть x, y – какие-либо два элемента полуупорядоченного пространства Е. Точной верхней гранью элементов x, y назовем такой элемент u = sup{x, y}, который обладает свойствами:

1⁰. u ³ x, u ³ y;

2⁰. для всякого элемента w:

w ³ x, w ³ y

следует, что

u £ w,

т.е. sup{x, y} является верхней гранью элементов х и у одновременно, причем это -наименьшая из всех верхних граней этих элементов.

Определение. Если в полуупорядоченном пространстве Е для каждой пары элементов х, у существует sup{x, y}, то конус К называется миниэдральным (в дословном переводе этот термин означает, что конус имеет минимально возможное число граней).

Примерами миниэдральных конусов являются конусы векторов с неотрицательными координатами в пространствах Rⁿ, конусы неотрицательных функций в пространствах С_[_a _, _b_], , конусы неотрицательных последовательностей в пространствах l_p (р ³ 1), т – ограниченных числовых последовательностей и некоторые другие.

Для миниэдральных конусов, наряду с понятием точной верхней грани элементов х, у, вводится понятие точной нижней грани элементов х, у, т.е. inf{x, y}. Приведем соответствующее определение.

Определение. Для данных элементов х, у из Е, Е – полуупорядоченное пространство, точной нижней гранью назовем такой элемент v = inf{x, y}, который обладает свойствами:

1⁰. v £ x, v £ y;

2⁰. для всякого элемента w ₁:

w ₁ £ x, w ₁ £ y

выполняется неравенство

v ³ w ₁,

т.е. w – это наибольшая из всех нижних граней элементов х, у.

Развитием понятия миниэдральности конуса является понятие сильной миниэдральности конуса К.

Определение. Конус К называется сильно миниэдральным, если для каждого ограниченного сверху по конусу К множества элементов М существует точная верхняя грань.

Ясно, что каждый миниэдральный конус является сильно миниэдральным. Обратное не верно, т.е. конус может быть миниэдральным, не будучи сильно миниэдральным. Миниэдральные конусы обладают рядом замечательных свойств, теория полуупорядоченных пространств с сильно миниэдральными конусами выделена в специальный раздел функционального анализа, который называется теорией структур. Основы теории структур были заложены в работах известного математика Биркгофа [5], [15].

Определение. Критерием качества К мы назовем любой критерий сравнения векторных величин x, y, который удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):

. Если , то при всяком и при ; при этом, если и , то для элемента (-х) соотношение нарушается;

. Если и , то .

Критерий качества К будем называть отношением предпочтения. Множество всех элементов х, являющихся предпочтительнее нулевого элемента , будем называть конусом.

Отметим, что из перечисленных свойств , критерия качества вытекают следующие важные свойства конуса К:

1) если и , то при и при < 0;

2) из u K и v K следует, что (u + v) K;

3) если х К и (-х) К, то х = .

При наличии в конуса К у нас появляется возможность устанавливать отношение предпочтения > для некоторых (не для всех) пар х, у элементов, если условиться считать, что х у в том и только в том случае, если (х - у) К. Отметим при этом, что все приведенные выше свойства , соблюдаются.

Пример конуса в множестве n-мерных векторов - это множество векторов с неотрицательными координатами, этот конус принято обозначать через Хотя понятно это не единственный пример конуса в . Так в случае n = 3 это множество векторов первого октанта, хотя в можно рассматривать и другие примеры конусов, например «круглый» конус (см. рис.1). Каждый конус можно описать аналитически с помощью системы функций и неравенств. Например, конус можно описать аналитически с помощью системы линейных неравенств:

Рис.1

«Круглый» конус, изображенный на рис.1 - это множество векторов, лежащих внутри или на границе конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей - линией L, не проходящей через начало координат. Выбирая разные направляющие, мы будем получать разные примеры конусов. Так, если выбрать в качестве направляющей контур треугольника (рис.2), мы получим трехгранный конус. Аналогично можно рассмотреть четырехгранные, пятигранные и т.д. конусы. «Круглый» конус, изображенный на рис.1, можно рассматривать в этой связи как конус, имеющий бесконечное число граней (каждое из ребер является одномерной гранью).

Особое место среди конусов занимают конусы с минимально возможным числом граней. Заметим, что в случае пространства (т.е. плоскости) каждый конус имеет ровно две грани и число 2 - это единственно возможное число граней конуса на плоскости.

Рис.2

Поэтому каждый конус на плоскости имеет минимально возможное число граней. В случае пространства - минимально возможное число граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно трем. В пространстве минимально возможное число (n-1)-мерных граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно n.

Тогда миниэдральным конусом будет называться всякий конус, который, во-первых, содержит хотя бы одну внутреннюю точку и, во-вторых, имеет минимально возможное число граней.

Миниэдральные конусы обладают одним важным свойством. Для формулировки этого свойства нам понадобятся некоторые вспомогательные понятия.

Пусть Е- линейное пространство с конусом К и знак « » есть отношение предпочтения по конусу К.

Однако, миниэдральные конусы в конечномерных пространствах обладают следующим фундаментальным свойством:

если конус К миниэдрален, то каждое ограниченное сверху (соответственно, снизу) множество М элементов имеет точную верхнюю sup М (соответственно, точную нижнюю inf M) грань.

Пример. Рассмотрим в пространстве с конусом векторов из с неотрицательными координатами множество векторов , удовлетворяющих для заданного вектора неравенству

Тогда inf , sup не существует.

Аналогично, если - множество векторов из , удовлетворяющих неравенству

то sup , а inf не существует.

Интегральные операторы

Большой интерес представляют линейные интегральные операторы

действующие в различных пространствах Е функций, определенных на множестве W, которое мы предполагаем ограниченным и замкнутым подмножеством конечномерного пространства R ^п[1], [16], [20].

Термин " интегральные уравнения" расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента встречается под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным образом. Многие линейные интегральные уравнения (в " одномерном" случае) могут быть записаны в виде

(1)

где x: [a, b] → R — искомая функция, α, f: [a, b] → R и K: [a, b]× [a, b] → R — заданные функции. Функцию K обычно называют ядром интегрального уравнения.

Уравнение (1), когда K(t, s) = 0 при a ≤ t ≤ s ≤ b, называют уравнением Вольтерры. В противном случае его называют уравнением Фредгольма [2]. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть переписано в виде

Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона

и уравнения Гаммерштейна

Уравнения I и II рода

Если α (t) ≠ 0 при всех t [a, b], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде

(2)

Уравнения такого вида называют уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода

(3)

Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b] определить интегральный оператор

то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде

x = Ix + f (4)

0 = Ix + f (5)

Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E₁, E₂) банаховых пространств функций на отрезке [a, b], если для любой f E₂ уравнение имеет единственное решение x E₁ и, кроме того, найдется такая константа C, что ||x||_E₁ ≤ ||f ||_E₂.

Разница между уравнениями I и II родов особенно ясно проявляется после записи интегральных уравнений в операторном виде. Суть здесь в следующем. Интегральные операторы в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами. Для корректной разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения (4) при любой функции f необходимо и достаточно обратимости оператора I – I и ограниченности (I – I)^–1, что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего положения. Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне непрерывного оператора I^–1 если он существует, необходимо, чтобы он являлся неограниченным [].

Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования.

§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения

типа свертки

Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе [2], [29]. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде

(6)

Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде

(5)

где

Умножение (7) на η _j и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных c_j:

в которой

Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K(t, s) = k(t – s):

Название наследуется от интегрального оператора свертки

играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.

Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства множество в компактное множество.

Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора [13]. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения , при которых уравнение

где – рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений , не являющихся регулярными, называется спектром оператора и обозначается . Спектральным радиусом оператора называется число, определенное формулой

, .

Если уравнение

при данном имеет решение, отличное от тривиального, то называется собственным значением оператора , а нетривиальное решение уравнения называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению . При этом собственное значение называется позитивным, если и отвечающий ему собственный вектор принадлежит конусу .

Глава II

Операторов

Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа

l x = Ax + f.

Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.

В терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).

Приведем соответствующее определение.

Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное число l называется регулярным значением оператора А, если оператор

(l I - A)

имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е. В противном случае соответствующее число l называется точкой спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается s(А).

Спектральным радиусом r(А) оператора А называется следующая величина:

Для ограниченного оператора А спектральный радиус r(А) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка

r(А) < ||A||.

Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:

Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда r (А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина).

Более того, при несущественных дополнительных предположениях r(А) является собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x ^*Î К (теорема Перрона-Фробениуса [2]).

В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида

r(A)< 1, (1)

где r(A) - спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t, s). Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого получим соответствующие признаки для случаев, когда А:

1⁰) A =( a_ij ) ( i, j =1, 2, 3…); (2)

2⁰) A – интегральный оператор вида

, (3)

где W - ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства R^m, K(t, s) – измеримая по s Î W почти при всех значениях t Î W функция, для которой при некоторых p> 1 и выполняется условие:

. (4)

При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве L_p( W ) и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].

Введем в рассмотрение следующие функции

, . (5)

Теорема 1. Пусть для некоторого a Î [0, 1] выполняется следующее неравенство

P ^a ( t ) Q ^1- ^a ( t ) £ 1 ( t Î W ) (6)

и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:

1⁰) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;

2⁰) в неравенстве (6) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества w Î W, mes w > 0, оператор А – неразложим в пространстве L_p( W ).

Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве L_p( W ) меньше чем единица:

r(A)< 1.

Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C( W ) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C( W ).

Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида