Оценки спектрального радиуса интегрального оператора

 

Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].

Теорема 1. Пусть - матричное ядро. . Функции , заданны в квадрате , за исключением прямой t = s, , . Пусть r = -спектральный радиус матричного интегрального оператора .Тогда

, где p > 0, q > 0, 1/ p + 1/ q =1,

где            

             .                                             ( 1 )

Доказательство.

Рассмотрим систему

.                            ( 2 )

Так как - спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных    имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы

                                                                  (3)

Представим                                         (4)

 

Вычтем почленно из (2) тождество (4):

                              . 

Так как , то , таким образом:

Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что ,

получим:

 =

=

согласно (4)

=

учитывая (1) и (3)

.

 Возведем обе части в степень q.

, тогда

Проинтегрируем по t

 ,

учитывая (3) получим:

 

       или         

Теорема доказана.

Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.

 

Теорема 2. Пусть -непрерывное матричное ядро . Тогда функции , заданные для , порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве  

.

 Пусть -спектральный радиус матричного интегрального оператора   в пространстве ,

, ,

докажем, что

.

Для доказательства теоремы рассмотрим систему

.                               ( 5 )

Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы

                                                                    (6)

Умножим обе части уравнения (5) на . Получим

                              .                      (7)

С учетом (5)   ,                  

тогда (7) запишется следующим образом:

                                     (8)

Умножим обе части выражения (8) на , получим

              .       (9)

Проинтегрируем обе части выражения (9) по

.

Тогда

Учитывая (6), получим

Из неравенства Гельдера   для

получим

.

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.

 

Новые оценки спектрального радиуса линейного

Положительного оператора

 

В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента  со значением комбинации элементов , где  - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок  достаточно знать оценку , а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть  воспроизводящий и нормальный конус,  и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть  - неразложим. Если для некоторого  и  выполняется неравенство

,                                          (1)

то

.

Если для  верна оценка , тогда

.                                     (2)

Доказательство.

Существует такой функционал , что

 и ,

где - собственное значение оператора , соответствующее функционалу . Применим функционал  к (1):

,

,

.

Т.к. оператор - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса  [29]. Поэтому

.

Заменив  на , мы только усилим неравенство (т.к. ):

.

Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (2). Теорема доказана.

Пример 1. Рассмотрим матрицу  и вектор  пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :

; ; ; ,

поэтому , и . Все условия теоремы 1 выполнены, следовательно , т.к. , то имеем . В то время как .

При   получим известную теорему Стеценко В.Я. [20]:

Пусть оператор  неразложим и , K - телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента  выполняется неравенство , тогда справедливо неравенство .

Эта теорема является частным случаем теоремы 1.

Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором  оператора  способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере 1 предположить , то , и тогда , а эта оценка намного хуже оценки .

Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Пусть  - воспроизводящий и нормальный конус,  и  - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть  - неразложим, и для некоторого  выполняется неравенство

,

где , . Тогда

.

Если для  верна оценка , тогда

.

 

Теорема 3. Пусть  воспроизводящий и нормальный конус,  и  линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть  - неразложим. Пусть для некоторого  выполняется неравенство

,                 (3)

где , . Тогда верна оценка:

,

где  - наименьшее позитивное собственное значение оператора .

Доказательство.

Применим к (3) функционал  из теоремы 1:

.

Т.к. оператор - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса  [29]. Поэтому

.

Т.к. , то заменив в последнем неравенстве  на , только усилим его:

,

таким образом . Теорема доказана.

Следствие (к теореме 3). Если в условиях теоремы 3 предположить, что оператор  также неразложим, тогда будет верна оценка:

.

Теорема 4. Пусть  воспроизводящий и нормальный конус,  и  линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть  - неразложим, и пусть для некоторого  выполняется неравенство

,

, . Если спектральный радиус оператора  известен и , то

.

Если для  известна оценка  и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .

Доказательство.

Как и при доказательстве теоремы 1, придем к неравенству

.                             (4)

Предположим, что , тогда, усиливая неравенство (4), получим

,

,

что противоречит предположению. Остается принять, что . Усиливая неравенство (4), получим

     .

Первое утверждение теоремы доказано. Заменяя в неравенстве (4)  на большее число , повторим рассуждения и получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

 

Теорема 6. Пусть  воспроизводящий и нормальный конус,  и  линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть  - неразложим и для некоторого  выполняется неравенство

,

, . Если наименьшее позитивное значение  оператора  известно и , то

.

Если для  известна оценка , и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .

Доказательство теоремы 5 вполне аналогично доказательству теоремы 4.

Следствие (к теореме 5). Если в условиях теоремы 5 предположить, что оператор  также неразложим, спектральный радиус  оператора  известен и , тогда верна оценка:

.

Теорема 6. Пусть  воспроизводящий и нормальный конус,  и  линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть  - неразложим. Если для некоторого  выполняется неравенство

,

где ,  и , то верна оценка:

.

Доказательство.

Аналогично тому, как это было сделано в теореме 1, приходим к неравенству

,                         (5)

из которого следует, что . Действительно, предположив противное, т.е. предположив, что , и усилив неравенство (5), получим

,

что противоречит условию. Остается принять, что . Усиливая неравенство (5), получим , откуда следует

.

Теорема доказана.

Эти результаты были описаны в работах ([26], [29]). Важным моментом доказанных теорем является то, что телесность конуса не предполагается.

Глава III.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: